Feladat 1
Je známe, že číslo 2013 sa dá práve jedným spôsobom zapísať ako súčet dvoch prvočísel. Čomu je rovný ich súčin?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Aby bol súčet dvoch prirodzených čísel nepárny, musí byť jedno z nich nepárne a jedno párne. Jediným párnym prvočíslom je dvojka, takže v úvahu pripadá len zápis . Zadanie hovorí, že je možné zapísať 2013 ako súčet dvoch prvočísel, takže 2011 je prvočíslo a odpoveď je .
Feladat 2
Dve kružnice s polomerom 1 sa pretínajú tak, že obsah prostrednej časti je rovný súčtu obsahov krajných dvoch. Čomu je rovný obsah prostrednej časti?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Označme obsahy troch častí ako na obrázku.
Zo symetrie vieme, že
, takže zo zadaného
plynie
. Obsah prostrednej časti je tak rovný dvom tretinám obsahu ľavého kruhu, teda
.
Feladat 3
Máme päť žltých kolíkov, štyri červené, tri zelené, dva modré a jeden oranžový. Koľkými spôsobmi ich môžeme rozmiestniť do trojuholníkovej siete (pozri obrázok) tak, aby v žiadnom riadku ani stĺpci neboli dva kolíky rovnakej farby? Rovnako farebné kolíky považujeme za nerozlíšiteľné.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Začneme rozmiestňovaním žltých kolíkov. Máme jedinú možnosť, ako ich rozmiestniť tak, aby v každom riadku i stĺpci bol najviac jeden, a síce dať ho na preponu trojuholníka. Podobne máme iba jeden spôsob ako rozmiestniť postupne červené, zelené, modré a oranžové kolíky — vždy na preponu trojuholníka tvoreného doposiaľ neobsadenými miestami v trojuholníkovej sieti. Preto existuje iba jedno rozmiestnenie všetkých kolíkov vyhovujúce zadaniu.
Feladat 4
Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého súčin cifier je rovný 600.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Pretože , môžeme na zostavenie tohto čísla použiť iba číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Pritom jednotky k súčinu nijak neprispejú, iba zväčšia počet cifier. Zrejme musí číslo obsahovať dve päťky, lebo nemožno získať inou kombináciou cifier. Ostatné cifry musia mať súčin 24, teda musia byť aspoň dve. Číslo môžeme rozložiť ako alebo , a pretože prvá možnosť obsahuje menšiu číslicu, zvolíme ju a zostavíme hľadané číslo .
Feladat 5
Kladné reálne čísla , spĺňajú
Čomu je rovná hodnota výrazu
?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Obe rovnosti medzi sebou vynásobíme a dostaneme
Feladat 6
Lukáš objavil šesťciferné prirodzené číslo spĺňajúce nasledujúce podmienky:
- Číslo sa číta rovnako zľava doprava i sprava doľava.
- Je deliteľné deviatimi.
- Po škrtnutí prvej a poslednej cifry je jediným prvočíselným deliteľom nového čísla číslo 11.
Ktoré číslo Lukáš objavil?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 7
Na priemere polkružnice je daný bod . Kolmica k vedená bodom pretne polkružnicu v bode . Ak sú dĺžky oblúkov a polkružnice v pomere , určte hodnotu pomeru .
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 8
Dvaja rozmaznaní bratia Viktor a Mišo dostali balíček cukríkov, ktorý si pol na pol rozdelili. Každý z nich zje počas dňa dva až tri cukríky. Malému Viktorovi cukríky vydržali štrnásť dní, staršiemu Mišovi presne tri týždne. Koľko cukríkov bolo pôvodne v balíčku?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 9
Koľkými spôsobmi môžeme v schéme na obrázku prečítať slovo Náboj?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Z každého z písmen N, á, b, o môžeme ďalej pokračovať v čítaní dvoma spôsobmi. Preto možno slovo Náboj prečítať celkom spôsobmi.
Feladat 10
Na ostrove žijú obyvatelia dvoch typov: pravdovravní vždy hovoria pravdu, klamári zásadne klamú. Dvanásť obyvateľov ostrova sa posadilo do kruhu. Všetci svorne tvrdia, že sú pravdovravní. Tiež tvrdia, že po ich pravej ruke sedí klamár. Koľko najviac klamárov môže byť medzi týmito dvanástimi ľuďmi?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Predpokladajme, že by vedľa seba sedeli dvaja pravdovravní alebo dvaja klamári. Potom by ten, ktorý sedí v takej dvojici naľavo, prehlásil o človeku po svojej pravici, že je pravdovravný. To je ale v rozpore so zadaním — pravdovravní a klamári sa teda musia striedať. Klamárov je preto v kruhu práve šesť.
Feladat 11
Lukáš má jedenásť zhodných štvorcových dlaždičiek — šesť červených, tri modré a dve zelené. Koľkými spôsobmi môže z niektorých deviatich z nich zostaviť tabuľku , ak musí ofarbenie tabuľky ostať zachované, ak ju otočíme o po smere hodinových ručičiek? Dlaždičky rovnakej farby považujeme za nerozlíšiteľné.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Aby zostalo ofarbenie pri otočení o zachované, musia mať všetky rohové dlaždičky rovnakú farbu. Rovnakú farbu musia mať tiež štyri dlaždičky v stredoch krajných stĺpcov a riadkov. Potrebujeme preto buď aspoň osem dlaždičiek jednej farby, alebo po štyroch dlaždičkách z dvoch rôznych farieb. Také dlaždičky ale k dispozícii nemáme, a tak žiadne vyhovujúce ofarbenie neexistuje.
Feladat 12
Na ostrove sú ženaté dve pätiny mužov a vydaté tri pätiny žien. Koľko percent obyvateľstva ostrova žije v manželstve?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 13
Aká je dĺžka strany najväčšieho rovnostranného trojuholníka, ktorý možno vystrihnúť z obdĺžnikového papiera o rozmeroch ?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 14
Dáška si vzala štvorcový kus papiera a zložila ho štyrikrát na polovicu bez spätného rozkladania tak, že každým zložením vytvorila rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Koľko štvorcov je vidieť po rozložení papiera?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Na nasledujúcom obrázku sú znázornené prehyby, ktoré uvidíme po rozložení papiera.
Uvidíme teda celkom desať štvorcov — celý papier, štvorec spájajúci stredy jeho strán a v každom z týchto štvorcov navyše štyri menšie.
Feladat 15
Koľko päťuholníkov sa nachádza na obrázku?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Všimneme si, že každý päťuholník musí mať vo svojom vnútri stred obrázku. Pre každú z piatich strán máme na výber z troch možností (vonkajšia, prostredná, vnútorná čiara), takže päťuholníkov na obrázku je .
Feladat 16
Pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Pepa omylom za jedno z nich pripísal nulu, a tak mu vyšlo namiesto . Čomu je rovné väčšie z čísel, ktoré mal Pepa sčítať?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Označme , čísla, ktoré mal Pepa sčítať. Keďže pripísanie nuly odpovedá vynásobeniu desiatimi, môžeme zostaviť rovnice
Ich odčítaním získame
, takže
, čo je hľadaný väčší sčítanec.
Feladat 17
Aký polomer má najmenší kruh, ktorým možno zakryť trojuholník so stranami dĺžok a .
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 18
Lukáš, Mirek, Pepa a Viktor majú dokopy lízaniek. Pritom každý dvaja z nich majú dokopy lízaniek aspoň . Koľko najmenej lízaniek môže mať Pepa?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 19
Viktor si nakreslil obdĺžnik s obsahom a dĺžkou uhlopriečky . Čomu je rovný sínus ostrého uhla, ktorý zvierajú uhlopriečky obdĺžnika?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 20
Akú najväčšiu hodnotu môže mať výraz , ak , , , sú navzájom rôzne čísla z množiny ?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 21
Do roviny s kartézskou súradnicovou sústavou sme náhodne umiestnili uhol o veľkosti . Aká je pravdepodobnosť, že ramená tohto uhla tvoria graf funkcie?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 22
Pepa si v deň konania minuloročného náboja (23. marca 2012) nakreslil pravidelný stouholník (číslovaný v smere hodinových ručičiek) a na jeden náhodný vrchol položil žetón. Každé ďalšie ráno potom posunul žetón o toľko vrcholov po smere hodinových ručičiek, aké bolo číslo vrcholu na ktorom práve žetón ležal (napríklad z vrcholu by sa tento žetón presunul na , z vrcholu na ). Teraz leží žetón na vrchole . Ak?? bola pravdepodobnosť, že sa niečo také stane?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 23
Prirodzeným číslam, ktoré sa dajú napísať ako rozdiel druhých mocnín dvoch celých čísel, hovorme rozdielové. Koľko z čísel je rozdielových?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 24
Tri pravidelné neprekrývajúce sa mnohouholníky o stranách dĺžky sa stretávajú v bode tak, že tvoria (nekonvexný) mnohouholník , pre ktorý je bod vnútorným bodom. Ak je jeden z mnohouholníkov šesťuholník a druhý štvorec, určte obvod mnohouholníka .
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Porovnaním veľkostí vnútorných uhlov troch mnohouholníkov pri spoločnom vrchole dostaneme, že veľkosť vnútorného uhla v treťom pravidelnom mnohouholníku je rovná . Keďže súčet veľkostí vnútorných uhlov v -uholníku je rovný , platí:
Tretí mnohouholník je teda dvanásťuholník a keďže každé dva mnohouholníky zdieľajú jednu stranu, má mnohouholník
obvod rovný
.
Feladat 25
Viktor napísal na papier čísla až v náhodnom poradí. Aká je pravdepodobnosť, že pre každé je to -te menšie ako to -te?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Predstavme si, že Viktor písal čísla postupne po dvojiciach — vždy si náhodne vybral dve doposiaľ nenapísané čísla a pripísal ich na papier za už napísané. Pravdepodobnosť, že napísal skôr to menšie, je (bez ohľadu na to, ktoré dve čísla si vybral). Pre všetkých päťdesiat dvojíc teda máme pravdepodobnosť .
Feladat 26
Ružová farba vznikne zmiešaním červenej a bielej v pomere , azúrová vznikne z modrej a bielej v pomere . Stanka si chce vymaľovať izbu farbou, ktorá vznikne z ružovej a azúrovej zmiešanej v pomere . Zatiaľ zmiešala tri plechovky modrej a jednu plechovku červenej farby. Ostávajú jej už len plechovky s červenou a bielou farbou. Koľko celkom plechoviek ešte musí pridať?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 27
V klobúku je niekoľko bielych, sivých a čiernych králikov. Je známe, že keď kúzelník začne králiky postupne náhodne vyťahovať (bez toho, aby ich vracal späť), je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr bieleho králika ako sivého, rovná . Podobne je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr sivého králika ako čierneho, rovná . Aká je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr bieleho králika ako čierneho?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Pravdepodobnosť, že kúzelník vytiahne skôr bieleho králika ako sivého, je rovná , takže v klobúku je trikrát viac bielych králikov ako sivých. Podobne je v klobúku trikrát viac sivých králikov ako čiernych. Z toho plynie, že bielych králikov je deväťkrát viac ako čiernych, a hľadaná pravdepodobnosť je tak rovná .
Feladat 28
Pre prirodzené čísla , platí . Určte hodnotu súčtu .
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 29
V rohoch štvorca o strane dĺžky sú umiestnené štyri menšie štvorce o stranách dĺžky . Označme ich vrcholy , , , ako na obrázku. Štvorec je zostrojený tak, že body , , , ležia vo vnútri jeho strán , , , . Určte najväčšiu možnú vzdialenosť bodov a .
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 30
V dvadsiatich krabiciach je spolu jabĺk. Pritom v niekoľkých krabiciach je presne po štyroch jablkách a v ostatných po jablkách. Nájdite všetky možné hodnoty .
Mutasd / rejtsd el a választ
,
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 31
Kladné reálne čísla , spĺňajú a súčasne
Čomu sa rovná hodnota výrazu
?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Podmienku zo zadania si prepíšeme na . Jej použitím dostávame nasledujúce vzťahy:
Keďže je hľadaný výraz kladný, môžeme jeho hodnotu spočítať pomocou vyššie uvedených rovností ako
Feladat 32
Koľkými spôsobmi možno do rôznych políčok heptomina na obrázku vyplniť čísla 1 až 7 (každé musíme použiť práve raz), aby bol súčet čísel v spodnom riadku rovnaký ako súčet čísel v ľavom stĺpci?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 33
Dĺžky strán ostrouhlého trojuholníka spĺňajú , , . Označme pätu výšky z vrcholu . Určte .
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Pythagorova veta pre pravouhlé trojuholníky a dáva a . Odčítaním týchto vzťahov dostaneme
Keďže bod
leží vo vnútri strany
, máme súčasne
takže
.
Feladat 34
Električky majú celý deň v obidvoch smeroch trasy rovnaké intervaly. Chodec, ktorý šiel pozdĺž dráhy električky, pozoroval, že ho každých 12 minút jedna električka predbehne a zároveň každé 4 minúty ho minie električka v protismere. Aký interval majú električky?
Mutasd / rejtsd el a választ
minút
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Označíme rýchlosť električky , rýchlosť chodca a vzdialenosť medzi električkami . Zadanie dáva
Spočítaním rovníc a vydelením dvoma dostávame
takže električka prejde vzdialenosť
za 6 minút, čo odpovedá intervalu električky.
Feladat 35
Koľko nedegenerovaných trojuholníkov môže byť vytvorených spojením niektorých troch bodov na obrázku?
Poznámka: Body sú zarovnané do naznačenej mriežky.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Počet spôsobov, ako vybrať niektoré tri body z dotyčných jedenástich, je rovný
Ostáva spočítať, koľko trojíc bodov leží na priamke, a toto číslo odpočítať. Vodorovných trojíc je celkom
, šikmých trojíc potom
, takže celkový počet trojuholníkov je
.
Feladat 36
Mirek dostal bonboniéru s tridsiatimi bonbónmi usporiadanými v troch riadkoch po desať. Aby si ju náležite vychutnal, je bonbóny po jednom, a to tak, aby sa počty ostávajúcich bonbónov v každých dvoch riadkoch v každom okamihu líšili najviac o jedna. Koľkými spôsobmi môže bonboniéru zjesť?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Poradie, v akom Mirek bonbóny zje, môžeme jednoznačne zadať nasledovne: pre každý riadok určíme, v akom poradí budú bonbóny v tomto riadku zjedené; súčasne určíme, v akom poradí bude Mirek voliť riadky.
V každom riadku môžeme bonbóny usporiadať spôsobmi, vo všetkých troch riadkoch dohromady teda spôsobmi.
Pre určenie počtu možných poradí riadkov si uvedomme, že kedykoľvek je v každom riadku rovnaký počet bonbónov, potom si Mirek môže zvoliť ľubovoľný z nich. Pri ďalšom výbere si musí zvoliť jeden zo zostávajúcich dvoch (pri voľbe toho istého by v tomto už boli o dva bonbóny menej) a v následnom treťom výbere musí nutne zvoliť ten posledný nevybraný. Po troch zjedených bonbónoch teda bude vo všetkých riadkoch opäť rovnaký počet bonbónov. Stačí preto desaťkrát zvoliť poradie troch riadkov, čo je možné spôsobmi.
Možných spôsobov zjedenia bonboniéry je .
Feladat 37
Povieme, že šesťciferné prirodzené číslo je dvojité, pokiaľ sa jeho prvé tri cifry (v tomto poradí) zhodujú s jeho ďalšími tromi ciframi (teda napríklad číslo je dvojité, zatiaľ čo číslo dvojité nie je). Koľko dvojitých čísel je bezo zvyšku deliteľných číslom ?
Poznámka: Prirodzené číslo nemôže začínať nulou.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 38
Na každé políčko hracieho plánu náhodne nakreslíme šípku doprava alebo dole a na ľavé horné políčko postavíme robota. Robot sa vždy posúva na susedné políčko v smere šípky. Aká je pravdepodobnosť, že robot opustí hrací plán krokom z pravého dolného políčka?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Spočítajme, koľkými rôznymi cestami sa robot môže do pravého dolného políčka dostať a aká je pravdepodobnosť priechodu jednej takej cesty. Každá cesta sa skladá z troch krokov dole a troch krokov doprava, čo dáva celkom možných ciest. Pravdepodobnosť, že sa robot bude cesty držať, je v oboch prípadoch — každý zo šiestich krokov musí byť ten správny. Celková pravdepodobnosť je teda .
Feladat 39
Vyjadrite
v základnom tvare (tj. ako zlomok
, kde
, sú nesúdeliteľné prirodzené čísla).
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 40
Je daný obdĺžnik s dĺžkami strán , . Pre koľko bodov na jeho strane platí, že trojuholník má celočíselný obvod?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 41
V akom poradí je potrebné usporiadať riadky vyobrazenej tabuľky, aby vznikla tabuľka symetrická podľa vyznačenej uhlopriečky? Stačí nájsť jedno riešenie.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Všimnime si, že tabuľka je symetrická podľa opačnej uhlopriečky. K tomu, aby bola symetrická podľa vyznačenej uhlopriečky, ju stačí preklopiť podľa vodorovnej osi.
Poznámka: Pre túto tabuľku iné riešenie než uvedených 11 neexistuje.
Feladat 42
Pre každé prirodzené číslo položme
Nájdite najmenšie prirodzené číslo
také, že
.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Označme a ekvivalentne skúmajme, pre ktoré najmenšie prirodzené číslo je . Platí
takže
Teraz už ostáva len vyriešiť v prirodzených číslach nerovnicu
ktorá je po roznásobení ľavej strany a vydelení kladným
ekvivalentná s
. Riešením je číslo 254.
Feladat 43
Kaťa pripravila pizzu, rozkrájala ju na rovnakých dielikov a potom na ne pripichla lístky s číslami (každé číslo použila práve raz) tak, že medzi dielikmi so za sebou idúcimi číslami bol vždy rovnaký počet iných dielikov. Potom prišiel Lukáš a skoro celú pizzu zjedol — ostali len tri susedné dieliky s číslami 11, 4 a 17 (v tomto poradí). Koľko dielikov mala pizza pôvodne?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Nech medzi dielikmi so za sebou idúcimi číslami je práve iných dielikov, teda „skokom“ o dielikov sa dostaneme z dieliku na dielik , z dieliku na dielik atď. Tieto skoky musia byť všetky v rovnakom smere, pretože prvým skokom v opačnom smere by sme sa dostali na predchádzajúci dielik s nižším číslom. Z dieliku potom nutne skočíme na dielik , pretože všetky ostatné majú vo vzdialenosti dielik s o jedna menším a o jedna väčším číslom.
Pretože skákaním o prejdeme postupne všetky dieliky pizze, existuje také , že ak skočíme o presne -krát, skončíme na susednom dieliku. Platí teda
odkiaľ dostávame, že
musí byť deliteľné
. Pretože však existuje dielik s číslom
, musí byť
, teda
.
Feladat 44
V jednej posluchárni na Matfyze sú miesta na sedenie usporiadané do obdĺžnikovej mriežky. Počas jednej prednášky z analýzy sedelo v každom rade presne 11 chlapcov, v každom stĺpci sedeli presne 3 dievčatá a ešte celkovo dve miesta zostali voľné. Koľko najmenej miest môže byť v posluchárni?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Označme a počet radov a stĺpcov v posluchárni. Zo zadania plynie , čo upravíme na
Buď sú teda zátvorky v nejakom poradí rovné 5 a 7 alebo 1 a 35. Vyskúšaním štyroch možností zistíme, že najmenšia hodnota súčinu
odpovedá prípadu
, a je rovná
. Do takejto posluchárne možno študentov naozaj rozmiestniť — napríklad ako na obrázku.
Feladat 45
Kružnica s polomerom 3 a kružnica s polomerom 4 majú vnútorný dotyk v bode . Aký najväčší obsah môže mať trojuholník , ktorého vrcholy , ležia po rade na kružniciach , ?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Symbolom budeme označovať obsah trojuholníka .
Označme
priesečník úsečky
s kružnicou
rôzny od
. Keďže
je stredom rovnoľahlosti s koeficientom
zobrazujúcim kružnicu
na kružnicu
, je bod
obrazom bodu
, a teda
a
(trojuholníky zdieľajú výšku z vrcholu
). Stačí preto maximalizovať obsah trojuholníka
vpísaného do kružnice
s polomerom
. Zo všetkých takýchto trojuholníkov má najväčší obsah ten rovnostranný, a to
Obsah príslušného trojuholníka
potom vyjde
Feladat 46
Lukáš a Viktor hrajú hru. Na začiatku majú množinu a striedajú sa v ťahoch. Najskôr Lukáš odoberie ľubovoľných jej prvkov, potom odoberie Viktor ľubovoľných prvkov, potom Lukáš prvkov a tak ďalej až nakoniec odoberie Viktor jeden prvok, takže v množine presne dve čísla ostanú. Tým hra končí a Lukáš zaplatí Viktorovi absolútnu hodnotu rozdielu týchto čísel v eurách. Koľko eur Viktor vyhrá, pokiaľ obidvaja hráči hrajú najlep??ie ako môžu?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Viktor môže v každom svojom ťahu zdvojnásobiť najmenšiu vzdialenosť medzi dvomi číslami v množine tým, že z nich odoberie každý druhý prvok. Takto si zaistí výhru aspoň eur. Naopak Lukáš môže každým svojim ťahom znížiť rozdiel najväčšieho a najmenšieho čísla o polovicu tým, že odoberie spodnú alebo hornú časť množiny, a teda vie zaistiť, že Viktor vyhrá najviac eur. Pri optimálnej hre obidvoch hráčov tak Viktor vyhrá 32 eur.
Feladat 47
Na Matfyze vyhodili z analýzy niekoľko študentov. Všetci títo študenti prestúpili na VŠN (vysokú školu nemenovanú). To malo nasledujúce dôsledky:
- Počet študentov na Matfyze sa znížil o šestinu.
- Počet študentov na VŠN sa zvýšil o tretinu.
- Na obidvoch školách vzrástlo priemerné IQ o 2%.
Koľkokrát je teraz priemerné IQ na Matfyze vyššie ako na VŠN?
Mutasd / rejtsd el a választ
-krát
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Feladat 48
Do kružnice s polomerom 1 je vpísaný pravidelný štrnásťuholník . Aká je plocha tej časti kruhu ohraničeného kružnicou , ktorá leží vo vnútri ostrého uhla ?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Zamerajme sa okrem bodov , a ešte na bod .
Keďže
, je úsečka
priemerom kružnice
. Súčasne je
, takže
je rovnoramenný lichobežník a jeho základne
a
sú rovnobežné. Obsah trojuholníka
je preto rovnaký ako obsah trojuholníka
, kde
je stred kružnice
. Hľadaný obsah je tak rovný obsahu kruhového výseku
, teda jednej štrnástine obsahu celého kruhu.
Feladat 49
Olin s Martinou uvideli 24-prvkovú množinu . Olin si vypísal všetky jej dvanásťprvkové podmnožiny, ktoré majú párny súčet prvkov, zato Martina si vypísala všetky dvanásťprvkové podmnožiny s nepárnym súčtom prvkov. Kto si vypísal viac množín a o koľko?
Mutasd / rejtsd el a választ
Olin o
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Uvažujme ľubovoľnú dvanásťprvkovú podmnožinu a predpokladajme, že existuje prirodzené číslo také, že obsahuje práve jedno z čísel , . Vezmeme najmenšie také a zostrojme dvanásťprvkovú množinu , ktorá bude obsahovať rovnaké prvky ako až na to, že z dvojice , bude obsahovať ten druhý prvok.
Ľahko si rozmyslíme, že keď prevedieme na jednu množinu dvakrát po sebe, získame opäť pôvodnú množinu, a ďalej, že ak prevedieme na niektorú Olinovu podmnožinu, získame Martininu podmnožinu a obrátene. Funkcia je teda bijekciou medzi Olinovými a Martininými podmnožinami, samozrejme iba tými, pre ktoré existuje z predchádzajúceho odseku. Ostáva si rozmyslieť, ako vyzerajú „zvyšné“ množiny, pre ktoré také nie je možné nájsť.
V takýchto podmnožinách musí byť práve šesť nepárnych čísel a šesť párnych čísel, ktoré sú následníkmi tých nepárnych. Súčet čísel v takýchto podmnožinách je tak vždy párny a ich počet je .
Feladat 50
Viktor si myslí tri navzájom rôzne prirodzené čísla , , také, že súčet niektorých dvoch z nich je 800. Keď si na papier napísal čísla , , , , , a , zistil, že to sú všetko prvočísla. Určte rozdiel najväčšieho a najmenšieho čísla na Viktorovom papieri.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že . Aspoň jedno z čísel , , je deliteľné tromi, takže aby bolo súčasne prvočíslom, musí sa trom priamo rovnať. Keďže , ponúkajú sa dve možnosti: alebo .
Pokiaľ , máme z Viktorových prvočísel a súčasne , teda , čo vzhľadom k nepripadá do úvahy.
Vieme teda, že , čiže . Najväčšie z Viktorových čísel je . Vzhľadom k predpokladu nemôže byť žiadne z Viktorových prvočísel párne, a preto je najmenšie číslo . Rozdiel tak je .
Ešte poznamenajme, že čísla vyhovujúce zadaniu skutočne existujú — napríklad , , .
Feladat 51
Alča na dve náhodné miesta metrovej tyčky nakreslila bodky. Potom prišiel Pepa a tyčku náhodne rozlámal na častí. Aká je pravdepodobnosť, že obe bodky sú teraz na tej istej časti?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Predstavme si tyčku v celku. Alča na ňu náhodne naniesla dve bodky, ale Pepa na ňu náhodne naniesol 2012 zlomov. Celkom je tak na tyčke 2014 značiek, z toho dve náhodné značky sú bodky. Celkový počet možností, ktoré značky môžu byť bodky, je . Bodky sú na jednom dieliku presne vtedy, keď ide o susedné značky, na čo máme možností. Výsledná pravdepodobnosť je
Feladat 52
Koľko desaťciferných prirodzených čísel obsahujúcich každú z cifier práve raz je násobkom čísla ?
Poznámka: Prirodzené číslo nemôže začínať nulou.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Pretože , musia byť skúmané čísla deliteľné deviatimi, teda dokonca číslom . Označme , resp. , číslo zložené z prvej, resp. druhej, pätice cifier skúmaného čísla. Potom máme
Pretože sú
, päťciferné prirodzené čísla menšie ako 99999, je
Z toho dostávame nutnú a postačujúcu podmienku na
, pre deliteľnosť príslušného desaťciferného čísla číslom
: Pre
je
-tá cifra čísla
doplnkom do deviatky
-tej cifry čísla
. Ponúkané cifry preto spárujeme do piatich dvojíc
Vieme, že tieto dvojice musíme použiť v istom poradí (
možností), a súčasne si pri každej dvojici môžeme vybrať, ktoré číslo z dvojice dáme do
a ktoré do
(
možností). Musíme však odčítať možnosti obsahujúce nulu na začiatku
, pre ktoré nedostaneme desaťciferné číslo — to je
možností ako usporiadať ostatné dvojice, a
možností ako rozdeliť ich čísla medzi
a
. Celkový počet čísel spĺňajúcich zadanie je teda
Feladat 53
Polynóm stupňa s reálnymi koeficientmi spĺňa pre vzťah . Určte .
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Definujme polynóm . Ten má stupeň 2013 a tiež pre ľubovoľné spĺňa podľa binomickej vety
Polynóm
je stupňa 2013 a má 2014 koreňov, teda je nulový. Teda
. Ostáva spočítať
Feladat 54
Vo vnútri rovnoramenného trojuholníka spĺňajúceho a je daný bod tak, že a . Určte .
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Označme obraz bodu v osovej súmernosti podľa .
Potom
a
, takže trojuholník
je rovnostranný a
. Vďaka osovej súmernosti však tiež
, takže
je os úsečky
a
. Teraz už z nekonvexného štvoruholníka
ľahko dopočítame
Feladat 55
Nájdite najväčšie prirodzené číslo nekončiace nulou také, že škrtnutím niektorej jeho „vnútornej“ cifry získame jeho deliteľa.
Poznámka: „Vnútornou“ cifrou rozumieme každú cifru okrem prvej a poslednej.
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Označme hľadané číslo . Najskôr si rozmyslíme, že škrtať musíme jeho druhú cifru.
Pre spor predpokladajme, že prvé dve cifry neboli škrtnuté. Škrtnutím sme dostali z -ciferného čísla číslo -ciferné (nazvime ho ). Potom je opäť -ciferné číslo, ktoré sa s zhoduje v prvých dvoch cifrách, ale pritom sa mu nerovná, pretože pôvodné číslo nekončilo nulou. To je ale spor, lebo dva násobky -ciferného čísla sa nemôžu líšiť o -ciferné číslo.
Číslo si teraz zapíšeme v tvare , kde a sú cifry () a číslo nekončiace na nulu. Škrtnutím druhej cifry vznikne číslo . Pre vhodné tak musí platiť
Uvedomme si, že . Skutočne, keby bolo , začínalo by na väčšiu cifru ako , čo nemôže. Upravme ďalej rovnosť do tvaru
Keďže ľavá strana je deliteľná
i
, musí byť obidvoma deliteľná i pravá strana. Číslo
samozrejme nekončí na nulu, takže činiteľ
musí byť deliteľný aspoň jedným z prvočísel
, v jeho plnej mocnine. Keďže
, usudzujeme, že
(lebo
, a dokonca
), a teda
je najviac šesťciferné. Naopak pre
musí byť už nutne
, čo po dosadení dáva
Aby vyšla pravá strana nezáporná, musí byť
(
a
sú cifry). Pre
máme možnosti
, , z ktorých druhú zavrhujeme, lebo
by končilo na nulu. Pre
dopočítame
, spätne dosadíme a overíme, že číslo
úlohu skutočne rieši.
Feladat 56
Pre navzájom rôzne reálne čísla , , platí
Čomu je rovný súčin
?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Pokiaľ je jedno z čísel , , nulové, potom sú nulové všetky, čo je v spore s tým, že sú navzájom rôzne. Podobne zistíme, že čísla , , sú rôzne od troch.
Dosaďme tretí vzťah do prvých dvoch a druhý vzťah upravme na . Keďže pravá strana je nenulová, je nenulová i ľavá — môžeme teda deliť výrazom a tým získať vyjadrenie pomocou . To dosadíme do prvého vzťahu. Po úprave dostaneme
takže
je koreňom polynómu
. Analogicky odvodíme, že i
a
sú korene tohto polynómu. Keďže sú čísla
, ,
navzájom rôzne, znamená to, že
. Porovnaním koeficientov u absolútneho člena získavame hľadané
.
Feladat 57
V rôznostrannom trojuholníku má jedna výška rovnakú dĺžku ako jedna ťažnica a iná výška má rovnakú dĺžku ako iná ťažnica. V akom pomere sú dĺžka tretej výšky a dĺžka tretej ťažnice?
Mutasd / rejtsd el a választ
Mutasd / rejtsd el a megoldást
Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že . Potom pre dĺžky príslušných výšok a ťažníc platí a . Súčasne , a , takže musí byť a . Označme stred strany a pätu kolmice z bodu na stranu . V pravouhlom trojuholníku platí , takže . Ak označíme stred strany , získame podobne .
Označme ťažisko trojuholníka a uvažujme rovnostranný trojuholník , ktorý má za ťažnicu. Bod spĺňa i , ale pritom sa líši od bodu (trojuholník musí byť zo zadania rôznostranný). „Pravý“ bod je preto druhým priesečníkom polpriamky a kružnicového oblúka , teda stredom úsečky . Z toho plynie a .
V trojuholníku s uhlom a dĺžkami strán , už ľahko z kosínusovej vety dopočítame dĺžku strany a dĺžku ťažnice , ďalej obsah a nakoniec dĺžku výšky . Celkovo tak dostávame