Võistlusülesanded 2009

Ülesanne 1

V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. Přepočet z Celsiových stupňů na Fahrenheitovy lze provést podle vzorce ( jsou stupně Celsiovy, Farenheitovy). Jakou teplotu vyjádří Evropan i Američan stejnou hodnotou?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 2

Nalezněte všechny dvojice reálných čísel takové, že čísla , , , tvoří v tomto pořadí aritmetickou posloupnost.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 3

Miloš dostal na zkoušce z Esperanta otázek, na které lze odpovídat pouze ANO nebo NE. Test je připraven natolik fikaně, že odpoví-li Miloš na libovolných pět otázek ANO a na zbylých pět otázek NE, bude mít vždy alespoň čtyři správné odpovědi. Zjistěte, kolika způsoby lze takovýto test připravit.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 4

Najděte nejmenší možnou hodnotu parametru tak, aby nerovnice platila pro všechna nezáporná čísla .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 5

Mějme krychli a uvažujme všechny trojúhelníky s vrcholy ve vrcholech krychle. Kolik různých vnitřních úhlů se v těchto trojúhelnících objeví?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 6

Kolika způsoby lze seřadit čísla tak, aby absolutní hodnota čísel v seřazené posloupnosti byla neklesající?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 7

ABCDEF je pravidelný osmistěn o straně tvořený čtyřbokými jehlany a . Určete obsah čtyřúhelníku .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 8

Do políček tabulky jsou po řádcích (a v rámci řádku zleva doprava) vepsána čísla v tomto pořadí. Vybereme pět políček tak, aby žádná dvě nebyla ve stejném řádku ani ve stejném sloupci, a čísla na těchto políčkách sečteme. Jaké hodnoty součtu můžeme tímto způsobem dostat?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 9

Vypočítejte .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 10

Káťa našla po sobě jdoucích přirozených čísel, která měla stejný součet jako po nich následujících čísel. Které z Kátiných čísel bylo nejmenší?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 11

Kterému celému číslu je roven součin

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 12

Buď reálné číslo a splňující rovnice

Určete součet .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 13

Mějme posloupnost čísel, pro kterou platí a pro . Zjistěte hodnotu . Výraz značí největší celé číslo, které nepřesahuje .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 14

Pro která přirozená čísla není násobkem ?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 15

Mějme pravidelný pětiúhelník . Sestrojme rovnostranný trojúhelník tak, aby bod ležel uvnitř pětiúhelníka. Kolik stupňů má úhel ?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 16

Nalezněte všechna reálná řešení rovnice

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 17

Nechť , jsou takové konstanty, že body prostoru dané souřadnicemi , leží na jedné přímce. Určete .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 18

Najděte největší přirozené číslo takové, aby číslo bylo dělitelné číslem .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 19

Funkce pro každé splňuje . Je-li celé číslo, jaká je jeho největší možná dvojciferná hodnota? Výraz značí největší celé číslo, které nepřesahuje .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 20

Jarda si upekl dokonale kulatou palačinku a z jejího středu vykrojil kruh, takže teď z palačinky zbylo mezikruží. Když se na ni chystal dát kečup, všiml si, že nejdelší rovná čára, kterou umí kečupem nakreslit, aniž by ho vylil na stůl, je dlouhá cm. Jaký obsah má Jardova palačinka?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 21

Spočtěte součet

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 22

Vojenský pluk dlouhý tři kilometry pochoduje. Jejich nadřízený plukovník podél nich jezdí v autě třikrát rychleji, než vojáci pochodují. Vyjel s posledním vojákem a jede vždy přímo k prvnímu, otočí se a jede zpátky k poslednímu, pak se zase otočí a jede k prvnímu a tak pořád dokola. Jak daleko bude plukovník od posledního vojáka v momentě, kdy budou mít vojáci napochodováno km?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 23

Mějme trojúhelník s úhly . Nechť je kružnice se středem , která protíná stranu ve vnitřních bodech , , stranu ve vnitřních bodech , a stranu ve vnitřních bodech , . Najděte úhel , jestliže víte, že .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 24

Jaký zbytek dává po dělení číslem ?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 25

Určete počet podmnožin množiny takových, že součet jejich prvků je roven .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 26

Najděte největší celé číslo, které dělí výraz pro každé .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 27

Do kružnice je vepsaný šestiúhelník , pro který platí . Určete obvod , víte-li, že .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 28

Nechť je libovolná permutace čísel . Pro kolik z těchto permutací platí, že pro každé ?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 29

Zjednodušte: .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 30

Určete počet obdélníků (včetně čtverců) v tomto obrázku.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 31

Mřížový bod v rovině je takový, jehož obě souřadnice jsou celočíselné. Předpokládejme, že Pravoslav jde z bodu přímou cestou (po přímce) do náhodného mřížového bodu se souřadnicemi ve čtverci , , , včetně hranic (každý cílový bod má stejnou pravděpodobnost). Jaká je pravděpodobnost, že jeho cesta bude procházet sudým počtem mřížových bodů? Do cesty počítáme i počátek a konec.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 32

Označme si . Spočtěte

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 33

Čtyřúhelník má délky stran , , , a platí . Prozradíme vám, že tento čtyřúhelník má kružnici vepsanou. Dovedete určit její poloměr?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 34

Najděte všechna přirozená čísla , pro která je výraz třetí mocninou nějakého přirozeného čísla.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 35

Mějme čtverec se stranou a uvnitř něj bod tak, že . Navíc víte, že . Určete vzdálenost .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 36

Určete počet trojic přirozených čísel splňující následující vztahy

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 37

Mějme deset přirozených čísel uspořádaných do kruhu tak, že každé číslo je o jedna větší než největší společný dělitel jeho dvou sousedů. Najděte největší možný součet takto rozestavených čísel.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 38

Je dán pravidelný čtyřstěn s délkou hrany . Rovina rovnoběžná s hranami procházející středem rozřízne na dva kusy. Najděte povrch jednoho z těchto kusů.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 39

Všechna políčka tabulky vyplníme křížky a kolečky tak, že v každém sloupci i v každém řádku bude lichý počet křížků. Kolika způsoby můžeme tabulku takto vyplnit?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 40

V PraSátkově je měst. Nově zakládaná společnost Čuňas\&*spol. chce vytvořit letecké linky mezi městy v PraSátkově. Ví však, že vláda hodlá rozdělit PraSátkov na dva státy, oba po pěti městech. Ale bohužel neví, která města budou ve kterém státě. Při rozdělení státu se všechny linky mezi městy z různých států zruší. Poraďte Čuňasům, jaký nejmenší počet linek jim stačí vytvořit, aby po rozdělení PraSátkova mohli cestující s použitím leteckých linek Čuňas\&*spol. cestovat mezi libovolnými městy v rámci rozdělených států (klidně i s přestupy).

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 41

Mějme tětivový čtyřúhelník , jehož kružnice opsaná má poloměr . Délky stran jsou , , . Určete délku poslední strany.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 42

Buď množina všech trojic přirozených čísel , pro něž platí . Určete

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 43

Je dán trojúhelník a jeho kružnice vepsaná se středem . Ta se dotýká strany v bodě . Označme kružnici nad průměrem . Buď její druhý průsečík s přímkou a její druhý průsečík s přímkou . Víte-li, že , , , určete .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 44

Je dána tabulka x, v jejímž levém horním rohu je číslo a v pravém dolním je číslo . Rozhodněte, kolika způsoby lze vyplnit zbylá políčka tak, aby každé číslo dělilo číslo v políčku pod ním i číslo vpravo od něj.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust