Võistlusülesanded 2011

Ülesanne 1

Čitateľ aj menovateľ Jefovho zlomku sú prirodzené čísla so súčtom . Hodnota zlomku je pritom menšia ako . Aká najväčšia môže byť hodnota Jefovho zlomku?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 2

Na obrázku pretína obdĺžnik kružnicu v bodoch , , , . Vieme, že , . Vypočítajte dĺžku úsesčky .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 3

Vypočítajte ciferný súčet čísla .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 4

Niekoľko mandaríniek sme rozdelili do troch sáčkov. V prvom sáčku je o šesť mandaríniek menej ako v zvyšných dvoch sáčkoch dohromady. Podobne, v druhom sáčku je o  mandaríniek menej ako v zvyšných dvoch sáčkoch dohromady. Koľko mandaríniek je v treťom sáčku?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 5

Na stole je 33 orechov rozdelených aspoň na dve kôpky. V každej kôpke sú aspoň dva orechy. Ak zo všetkých kôpok zoberieme jeden orech a položíme ho na prvú kôpku, tak bude na všetkých kôpkach rovnako veľa orechov. Koľko kôpok mohlo byť pôvodne na stole? Zistite všetky možnosti.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 6

Obdĺžnik je dvoma úsečkami rovnobežnými s jeho stranami rozdelený na štyri menšie obdĺžniky. Označme ich , , , rovnako ako na obrázku. Obvody obdĺžnikov , sú po rade  cm,  cm a  cm. Aké hodnoty môže nadobúdať obvod obdĺžnika ?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 7

Nájdite rozdielne cifry , a (v desiatkovej sústave) také, aby platil nasledujúci sčítací vzťah:

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 8

Určte obsah obdĺžnika, ak viete, že jeho obvod je  cm a jeho uhlopriečka má dĺžku  cm.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 9

Edo si zobral rovnako veľkých kociek a postavil z nich jednu veľkú kocku o rozmeroch . Celý povrch veľkej kocky zafarbil a potom ju celú rozložil na pôvodné kocky. Určte , ak viete, že je zafarbená desatina celkového povrchu malých kociek.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 10

Koľko najmenej členov má matematický klub, v ktorom je zastúpenie žien väčšie ako , ale menšie ako ?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 11

Ak zväčšíte číslo úlohy, ktorú práve držíte v ruke o číslo , získate číslo úlohy s najviac šokujúcim zadaním. Ak ho ale zväčšíte o dvojciferné číslo , získate číslo najhravejšej úlohy. Naviac platí, že . Určte a , ak viete, že vám zostáva ešte úloh (vrátane tejto).

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 12

Nájdite prirodzené číslo spĺňajúce vzťah .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 13

Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého desiatkový zápis končí na , je deliteľné timi a má ciferný súčet .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 14

Každá dvojica po sebe idúcich cifier istého -ciferného čísla je násobkom alebo . Jeho posledná cifra je . Určte jeho prvú cifru.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 15

Prirodzené číslo nazveme luxusné, ak každé iné číslo s rovnakým ciferným súčtom je od neho väčšie. Zistite, koľko je trojciferných luxusných čísel.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 16

Škrečkove reálne čísla , , spĺňajú . Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ? Nájdite všetky možnosti.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 17

Číslice napíšeme za sebou v nejakom poradí tak, aby vzniklo deväťciferné číslo. Uvažujme všetky trojice po sebe idúcich cifier tohto čísla a k týmto trojiciam zodpovedajúce trojciferné čísla sčítame. Aký najväčší výsledok môžeme dostať?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 18

V každom políčku tabuľky je napísané číslo. Filip si vybral dve čísla z tabuľky a do zošita si napísal ich súčin. Toto spravil pre všetky dvojice čísel z tabuľky. Všimol si, že práve z týchto súčinov je záporných. Koľko z pôvodných čísel mohlo byť rovných nule? Vypíšte všetky možnosti.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 19

V istom kráľovstve začali raziť mince. Počas prvého dňa razili mince v hodnote fufeň. Každý ďalší deň razili mince v najmenšej hodnote, ktorá sa nedala zaplatiť pomocou maximálne desiatich už vyrazených mincí. Mince akej hodnoty razili počas -teho dňa?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 20

Označme riešenie úlohy na tomto papieri. Určte pravdepodobnosť (číslo z intervalu ), že náhodne vybraný bod vnútri štvorca so stranou  cm je od všetkých jeho strán vzdialený aspoň  cm.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 21

Tabuľka je vyplnená celými číslami. Súčty čísel v riadkoch zhora nadol stúpajú o  a súčty čísel v stĺpcoch zľava doprava sa zdvojnásobujú. Ak je súčet jedného z riadkov , tak aký je súčet čísel v ľavom stĺpci?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 22

Dva trajekty vyplávali naraz proti sebe cez zátoku. Oba plávali po priamke konštantnou, ale rozdielnou rýchlosťou. Prvýkrát sa stretli vo vzdialenosti  m od jedného brehu. Keď každý z nich doplával k protiľahlému brehu, ihneď sa otočil a plával rovnakou cestou naspäť. Na spiatočnej ceste sa stretli trajekty vo vzdialenosti  m od druhého brehu. Aká široká je zátoka?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 23

Vrcholy hviezdy na obrázku tvoria pravidelný sedemuholník. Aká je veľkosť vyznačeného uhla?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 24

Nájdite spĺňajúce vzťah .

Poznámka: poschodové mocniny sa vyhodnocujú zhora, tj. .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 25

Zistite počet usporiadaných trojíc prirodzených čísel takých, že a

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 26

V rovine je daná kružnica s polomerom , stredom a priemerom . Označme kolmicu na priemer prechádzajúcu bodom . Zvolíme bod na priamke mimo kružnice taký, že ak označíme druhý priesečník kružnice s priamkou ako , tak platí . Určte dĺžku úsečky .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 27

Bitky dvoch armád a sa zúčastnilo dokopy vojakov. Armády strieľali v salvách. V každej salve zastrelil každý vojak jedného vojaka z nepriateľskej armády (ak je to možné, tak každý iného). V tejto bitke strieľala najprv armáda , potom armáda a nakoniec armáda . Najmenej koľko vojakov bitku určite prežilo?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 28

Všetkých šesť strán konvexného šesťuholníka je zafarbených na červeno. Každú z uhlopriečok zafarbíme buď na červeno, alebo na modro. Koľko je zafarbení takých, že každý trojuholník () má aspoň jednu zo svojich strán zafarbenú na červeno?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 29

Petržlen najskôr povedal jedno prirodzené číslo Škrečkovi a jedno prirodzené číslo Jefovi. Potom im povedal, že ich čísla sú rôzne a súčet ich čísel je dvojciferné číslo. Následne sa začali Škrečok s Jefom rozprávať:

Škrečok: „Neviem povedať, kto z nás má väčšie číslo.“

Jefo: „Ani ja, ale prezradím, že moje číslo je deliteľné mi.“

Škrečok: „Aha!, tak ja už teraz viem aký je súčet našich čísel.“

Čomu sa rovná tento súčet, ak obaja uvažovali bezchybne?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 30

V kaviarni sú Indovia a Turci a dohromady je ich . Každý z nich pije buď kávu alebo čaj. Ind je pravdovravný práve vtedy, keď pije čaj. Turek je pravdovravný práve vtedy, keď pije kávu. Na otázky: „Pijete kávu?“, „Ste Turek?“ a „Prší vonku?“ boli počty kladných odpovedí postupne , a (každý odpovedal práve raz). Koľko Indov pije čaj? Nájdite všetky možnosti.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 31

Za pravý koniec prirodzeného čísla v desiatkovom zápise boli dopísané tri cifry, čím vzniklo číslo, ktoré je súčtom všetkých prirodzených čísel od po vrátane. Zistite všetky možné hodnoty čísla .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 32

Amanda, Bohumila, Celestína, Dobroslava a Etelka hrajú turnaj v štvorhre v stolnom tenise. Každá dvojica hrala proti každej inej dvojici práve raz. Amanda vyhrala dokopy 12 zápasov a Bohumila ich vyhrala 6. Koľko zápasov mohla vyhrať Celestína? Nájdite všetky možnosti.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 33

Dvaja hráči hrajú na uvedenom pláne pozostávajúceho z 30 políčok hru podľa nasledujúcich pravidiel:

Koľko políčok bude vyfarbených na konci hry, v ktorej obaja hráči hrajú bezchybne a ten, kto nemôže vyhrať, sa snaží hru čo najviac predlžovať?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 34

V trojuholníku platí . Vo vnútri strany bližšie k bodu určíme bod tak, aby . Ďalej určíme bod tak, aby a aby body ležali v opačných polrovinách určených priamkou . Vieme, že všetky uhly v trojuholníkoch sú vyjadrené celočíselne v stupňoch. Zistite, aké hodnoty môže nadobúdať uhol .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 35

Desať ľudí sedelo za radom vedľa seba v divadle. Po prestávke si sadli tak, že práve dvaja z nich zostali na svojich pôvodných miestach a zvyšných osem sa posadilo na stoličku jedného zo susedov. Koľkými spôsobmi to mohli urobiť?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 36

Na každej stene kocky je napísané prirodzené číslo. Každému vrcholu kocky priradíme súčin čísel napísaných na troch príľahlých stenách. Vieme, že súčet čísel priradených vrcholom je . Aké hodnoty môže nadobúdať súčet čísel na stenách?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 37

Dvaja cyklisti pretekali na rovnej ulici v cestnom maratóne. Štartovali spoločne v rovnaký čas a z rovnakého konca ulice. Ak ľubovoľný z nich dorazil na ľubovoľný koniec ulice, tak sa otočil a išiel späť. Do okamihu, kým sa obaja zase stretli na jednom z koncov ulice, prešiel prvý z nich ulicu -krát a druhý -krát. Koľkokrát sa počas tejto doby čelne minuli?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 38

Nájdite najväčšie prirodzené číslo také, že všetky cifry okrem prvej a poslednej sú menšie ako aritmetický priemer susedných dvoch cifier.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 39

Dve tetrisové kocky zostavené zo štvorcov o rozmeroch dm sa dotýkajú v bodoch , , ako na obrázku. Určte vzdialenosť .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 40

V rovine je daných rôznych mrežových bodov. Každé dva rôzne body spojíme úsečkou. Najmenej koľko z týchto úsečiek má stred v mrežovom bode?

Poznámka: bod v rovine nazývame mrežový, ak sú obe jeho súradnice celočíselné.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 41

Päťciferné číslo nazveme nerozložiteľné, ak sa nedá napísať ako súčin dvoch trojciferných čísel. Najviac koľko nerozložiteľných čísel môže nasledovať bezprostredne za sebou?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 42

Reálne čísla a spĺňajú . Nájdite minimálnu hodnotu výrazu .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 43

Postupnosť vytvárame postupne pomocou vzorca

kým má pravá strana zmysel (tj. nedelí sa nulou). Navyše vieme, že a . Určte najmenšie také, že .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 44

Je daný ostrouhlý trojuholník s výškami , , , ktoré sa pretínajú v bode . Navyše platí

Určte .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 45

Na oslave každý (vrátane Ondra) pozná práve sedem chlapcov a presne desať dievčat. Známosti sú vzájomné a nikto nepozná sám seba. Koľko najmenej ľudí mohlo byť na oslave?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 46

Bod je stredom strany obdĺžnika . Obe kružnice vpísané troj\-*uholníkom majú polomer a kružnica vpísaná trojuholníku má polomer . Určte veľkosti strán obdĺžnika.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 47

Kladných deliteľov prirodzeného čísla menších od si napíšeme od najväčšieho po najmenšieho. Ak je súčet druhého a tretieho napísaného čísla rovný prvému napísanému číslu, tak číslo nazveme sčítacie. Koľko existuje sčítacích čísel menších ako ?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 48

Nájdite všetky reálne čísla spĺňajúce vzťah

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 49

Umiestnenie hodinovej a minútovej ručičky na ciferníku nazývame korektné, ak vyjadruje skutočný čas v priebehu dňa. Zistite, koľko existuje takých korektných umiestnení, ktoré zostanú korektné aj po zámene ručičiek.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 50

Nech , , sú také nenulové reálne čísla, že kvadratické trojčleny a majú spoločný koreň. Určte, aké hodnoty môže tento spoločný koreň nadobúdať.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 51

Nájdite všetky celé čísla také, že obe čísla a sú druhými mocninami nejakých prirodzených čísel.

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 52

Je daný pravidelný osemsten s hranou dĺžky . Jednej jeho stene vpíšeme kružnicu a stene s ňou susediacej kružnicu opíšeme. Aká je najmenšia vzdialenosť medzi týmito dvoma kružnicami?

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 53

Je daný trojuholník s polomerom opísanej kružnice a polomerom vpísanej kružnice . Vnútri trojuholníka sú do uhlov , , vpísané zhodné kružnice s polomerom tak, že existuje ďalšia kružnica s polomerom , ktorá má so všetkými z nich vonkajší dotyk. Určte .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust

Ülesanne 54

Pre reálne čísla , , , platí

Určte hodnotu .

Peida / näita vastust
Peida / näita lahendust