2013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata?

Két egységsugarú kör metszi egymást. A körök metszetének területe megegyezik a körök metszeten kívüli részeinek területösszegével. Mekkora a metszet területe?

Van 5 sárga, 4 piros, 3 zöld, 2 kék és 1 lila rajzszögünk. Hányféleképpen tudjuk elhelyezni őket az ábrán látható háromszög alakú rácsban úgy, hogy egy sorban vagy oszlopban se legyenek azonos színű rajzszögek? (Az egyforma színű rajzszögek nem megkülönböztethetők).

Melyik a legkisebb pozitív egész szám, amelyben a számjegyek szorzata $600$?

Az $a$ és $b$ pozitív valós számokra teljesül, hogy $$a+\frac{1}{b}=7\quad\text{and}\quad b+\frac{1}{a}=5.$$ Mennyi az $ab+\frac{1}{ab}$ kifejezés értéke?

Lali leírt a füzetébe egy hatjegyű egész számot, amire teljesülnek az alábbi állítások:

1. A számot visszafelé olvasva az eredeti számot kapjuk.
2. A szám osztható 9-cel.
3. Ha elhagyjuk a szám első és utolsó számjegyét, a megmaradó négyjegyű számnak csak egy prímosztója van, a 11.

Melyik számot írta le Lali?

Egy $k$ félkör $AB$ átmérőjén rajta van a $D$ pont. A $D$ ponton keresztül merőlegest állítunk az $AB$ átmérőre, és ez a merőleges a $k$ félkört a $C$ pontban metszi. Az $AC$ és $CB$ körívek hosszának aránya $1:2$. Mekkora az $AD : DB$ arány?

András és Béla kapnak egy zacskó cukorkát, és elosztják egymás közt úgy, hogy mindketten ugyanannyi darabot kapnak. Ezután mindketten megesznek naponta 2 vagy 3 darab cukorkát. Így András 14 nap alatt ette meg a cukorkáit, míg Béla pontosan három hét alatt. Hány cukorka volt a zacskóban?

Hányféleképpen olvasható ki a Náboj szó az ábrából?

Egy sziget lakói vagy igazmondók, vagy hazudozók. Az igazmondók mindig igazat mondanak, a hazudozók pedig mindig hazudnak. 12 szigetlakó ül egy kerek asztal körül, és közülük mindenki azt állítja: "Én igazmondó vagyok, és a jobb oldali szomszédom hazudozó." Legfeljebb hány hazudozó ülhet az asztalnál?

Julinak $11$ egybevágó négyzet alakú csempéje van, amely közül 6 piros, 3 kék és 2 zöld. Hányféleképpen tud lefedni ezekkel egy $3 \times 3$-as négyzetet 9 csempével úgy, hogy ha az óramutató járásával megegyező irányban $90^\circ$-kal elforgatjuk a középpontja körül a négyzetet, akkor az elforgatott négyzet színezése megegyezik az eredeti színezéssel? (Az azonos színű csempék nem megkülönböztethetők.)

Egy szigeten az ott élők közül a férfiak kétötöde és a nők háromötöde házas. A szigetlakók hány százaléka házas?

Legfeljebb mekkora oldalhosszúságú szabályos háromszöget tudunk kivágni egy $21 \times 29.7\,\text{cm}$ méretű téglalap alakú papírlapból?

Kata egy négyzet alakú lapot négyszer egymás után félbehajt úgy, hogy minden hajtás után egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget kap. Ezután kihajtogatja a lapot, és leteszi maga elé. Hány négyzetet láthat Kata az előtte lévő papíron?

Hány ötszög látható az ábrán?

Tibi össze akart adni két pozitív egészet, de véletlenül egy 0 számjegyet írt az egyik szám végére. Így 3858-at kapott összegként a helyes 2013 helyett. Mekkora a két szám közül a nagyobbik?

Mekkora a sugara a lehető legkisebb körnek, amivel le lehet fedni egy $3$, $5$, és $7$ egység oldalhosszúságú háromszöget?

Annának, Biának, Cilinek és Dórinak $100$ nyalókája van együtt. Bármely két lánynak együtt legalább $41$ nyalókája van. Legalább hány nyalókája van Annának?

Egy $ABCD$ téglalap területe $80$ területegység, az átlója pedig $16$ egység hosszú. Mekkora z átlók által bezárt szög szinusza?

Mekkora az $a^b + c^d$ kifejezés lehető legnagyobb értéke, ha $a$, $b$, $c$, és $d$ a $$\{-7, -5, -4, -3, -2, -1\}$$ halmaz különböző elemei?

Egy $110^\circ$-os szöget véletlenszerűen elhelyezünk a koordinátasíkon. Mekkora a valószínűsége, hogy a szög szárai egy függvénygrafikont alkotnak?

Jancsi rajzolt egy $A_1A_2 \dots A_{100}$ szabályos százszöget (az óramutató járása szerint számozva) a tavalyi Nábojon (2012. március 23.) és véletlenszerűen elhelyezett egy figurát a százszög egyik csúcsán. Ezután mindennap a figurát annyi csúccsal helyezte arrébb az óramutató járása szerint haladva, amennyi annak a csúcsnak az indexe, amelyen a figura állt ($A_3$-ról az $A_6$-ra teszi, $A_{96}$-ról az $A_{92}$-re). Most (2013. április 12.) a figura az $A_{100}$-on áll. Mennyi volt a valószínűsége annak, hogy ez történik?

Egy pozitív egészet különös-nek nevezünk, ha felírható két egész négyzetének a különbségeként. Hány különös számot találunk az $1,2, \dots, 2013$ számok között?

Van három egységoldalú, egymást nem fedő szabályos konvex sokszögünk, amelyeknek van egy $A$ közös pontja. Ezen sokszögek uniója egy $M$ konkáv sokszög, amelynek az $A$ belső pontja. Ha az egyik sokszög egy négyzet, a másik pedig egy hatszög, akkor mekkora $M$ kerülete?

Matyi felírta $1$-től $100$-ig az egész számokat véletlenszerű sorrendben. Mennyi a valószínűsége, hogy minden $i$-re, ahol $i = 1,\dots,50$ a $2i-1$-edik helyen lévő szám kisebb, mint a $2i$-edik helyen lévő szám?

A pink festéket piros és fehér festékből keverik $1:1$ arányban, a cián festéket pedig kék és fehér festékből $1:2$ arányban. Angi olyan festékkel szeretné kifesteni a szobáját, amit pink és cián festékből kever $2:1$ arányban. Már összekevert 3 doboz kék és 1 doboz piros festéket. Hány doboz festéket kell még felhasználnia, ha már csak piros és fehér festék áll rendelkezésére?

Van egy kalapunk, amiben fehér, szürke és fekete nyuszik vannak. Amikor a bűvész elkezdi véletlenszerűen kihúzni a nyuszikat a kalapból (visszatevés nélkül), annak a valószínűsége, hogy előbb húz ki egy fehéret, mint egy szürkét $\frac34$. Annak a valószínűsége, hogy előbb húz ki egy szürkét, mint egy feketét, szintén $\frac34$. Mennyi a valószínűsége annak, hogy előbb húz ki egy fehéret, mint egy feketét?

Az $a$, $b$ pozitív egészekre igaz, hogy $49a+99b = 2013$. Mennyi $a+b$ értéke?

Egy $6\,\text{cm}$ oldalú $PQRS$ négyzet sarkaiban elhelyezünk egy-egy kisebb, $2\,\text{cm}$ oldalú négyzetet. Jelöljük a négyzetek $PQRS$ belsejében lévő csúcsait $W$, $X$, $Y$, $Z$ betűkkel, ahogy az ábrán látható. Ezután szerkesztünk egy $ABCD$ négyzetet olyan módon, hogy a $W$, $X$, $Y$, $Z$ csúcsok rendre rajta vannak az $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ oldalakon. Legfeljebb mekkora lehet a $P$ és $D$ pontok közötti távolság?

Van 20 dobozunk, amelyekben összesen $129$ alma van. Tudjuk, hogy néhány dobozban pontosan $4$ alma van, míg a többi dobozban pontosan $x$ alma van. Melyek $x$ lehetséges értékei?

$a$ és $b$ olyan valós számok, hogy $a > b > 0$ és $$\frac{a^2+b^2}{ab}=2013.$$ Mennyi az $\frac{a+b}{a-b}$ kifejezés értéke?

Hányféleképpen írhatjuk be az egész számokat $1$-től $7$-ig az ábrán látható négyzetekbe úgy, hogy minden számot csak egyszer használhatunk fel, és az alsó sorban lévő számok összege megegyezik a bal oldali oszlopban lévő számok összegével?

Legyen $ABC$ egy hegyesszögű háromszög, ahol $AB=4\pi$, $BC=4\pi+3$, $CA=4\pi+6$. Jelöljük az $A$-hoz tartozó magasság talppontját $D$-vel. Mennyi $CD-BD$?

Piripócson a villamosok mindennap mindkét irányban ugyanolyan időközönként közlekednek. Pumukli a villamossínek mentén sétálva azt tapasztalta, hogy 12 percenként előzte meg a villamos, és 4 percenként haladt el mellette a másik irányból jövő villamos. Milyen időközönként járnak Piripócson a villamosok?

Hányféleképpen választható ki három pont az ábrán látható pontok közül úgy, hogy a három pont ne essen egy egyenesbe?

Note: Points are aligned in the indicated grid.

Tominak van egy doboz csokija, amiben 30 darab csoki van három 10-es sorban. Olyan módon fogyasztja el egyenként a csokikat, hogy bármely két sorban a csokik száma közötti különbség legfeljebb 1 legyen. Hányféleképpen eheti meg az egész doboz csokit?

Egy hatjegyű pozitív egész számot duplázó-nak hívunk, ha az első három számjegyből álló szám megegyezik az utolsó három számjegyből álló számmal. Például $227227$ duplázó, de $135153$ nem az. Hány duplázó szám osztható $2013$-mal?

Megjegyzés: Egy pozitív egész szám első számjegye nem lehet $0$.

Tegyük fel, hogy van egy $4\times 4$-es sakktáblánk, amin minden négyzetbe egy lefele vagy jobbra mutató nyilat rajzolunk véletlenszerűen. Ezután elindulunk a bal felső sarokból, és a nyilak irányának megfelelően haladunk, amíg ki nem lépünk a sakktábláról. Mennyi a valószínűsége, hogy a jobb alsó sarokból lépünk ki a sakktábláról?

Hozzuk a $$\frac{212121210}{112121211}$$ törtet a lehető legegyszerűbb alakra (azaz olyan $\frac{a}{b}$ alakra, ahol $a$ és $b$ relatív prímek).

Van egy $ABCD$ téglalapunk, ahol $AB=30$ és $BC=20$. Az $AB$ oldal hány $X$ pontjára lesz a $CDX$ háromszög kerülete egész szám?

Milyen sorrendbe rakjuk az ábrán látható táblázat $r_1, \dots, r_{11}$ sorait, hogy az így kapott táblázat szimmetrikus legyen a megjelölt átlóra? Elegendő egy megoldást találni.

Minden pozitív egész $n$-re legyen $$a_n=\frac1n \root3\of{n^3+n^2-n-1}.$$ Melyik az a legkisebb $k\geq 2$ egész, amire $a_2\cdot a_3 \cdots a_k>4$?

Barbi $n$ egyenlő szeletre vágta fel a pizzát, majd megjelölte a szeleteket az $1,2,\dots,n$ számokkal (minden számot pontosan egyszer használt fel). Úgy számozta meg őket, hogy bármely két szomszédos egészekkel ($i$ és $i+1$) jelölt szelet között pontosan $k$ másik szelet van. Aztán jött Pocakos Peti, és megette majdnem az egész pizzát, csak három egymás melletti szeletet hagyott, a 11, 4, 17 számokkal jelölteket, ebben a sorrendben. Hány szelet pizza volt eredetileg?

Az ELTE egyik előadótermében a székek úgy vannak elhelyezve, hogy egy téglalap alakú rácsot alkotnak. Az egyik előadás alatt pontosan 11 fiú ült mindegyik sorban, és pontosan 3 lány mindegyik oszlopban, emellett 2 szék üres volt. Legalább hány szék van az előadóban?

A $3$ egység sugarú $k$ kör belülről érinti a $4$ egység sugarú $l$ kört a $T$ pontban. Legfeljebb mekkora lehet a $TKL$ háromszög területe, ha $K \in k$ és $L \in l$.

Eszti és Feri a következő játékot játssza: A kezdésnél vesznek egy számhalmazt: $$\{0, 1, \dots, 1024\}.$$ Ebből először Eszti elhagy $2^9$ elemet, majd Feri $2^8$ elemet, majd Eszti $2^7$ elemet, és így tovább, végül Feri elhagy egy elemet, így pontosan két szám marad. A játék ekkor véget ér, és Eszti kifizeti Ferinek forintban a két megmaradó szám különbségének az abszolútértékét. Hány forintot kap Feri, ha a lehető legjobban játszanak mindketten?

Néhány ELTE-s diák megbukott a vizsgákon, és kirúgták őket, ezért elmentek tanulni a Másik Egyetemre. Ez a következő következményekkel járt:

1. Az ELTE-s diákok száma egyhatoddal csökkent.
2. A Másik Egyetem diákjainak száma egyharmaddal nőtt.
3. Az átlag IQ mindkét egyetemen 2%-kal emelkedett.

Hányszorosa az ELTE-sek átlag IQ-ja a Másik Egyetemen tanuló diákok átlag IQ-jának?

Egy $A_1A_2\dots A_{14}$ szabályos 14-szöget beírunk egy egységsugarú $k$ körbe. A $k$ által határolt körlapból mekkora területet fog közre a $\angle A_1A_4A_{14}$ szög?

Jancsi és Juliska vették a következő 24 elemű halmazt: $\{1, 2, \ldots, 24\}$. Jancsi felírta azokat a 12 elemű részhalmazokat, amelyekben páros az elemek összege, míg Juliska azokat a 12 elemű részhalmazokat írta fel, amelyekben páratlan az elemek összege. Ki írt fel több részhalmazt,és mennyivel?

Géza három különböző $a$, $b$, $c$ pozitív egészre gondolt, amelyek közül valamely kettőnek az összege 800. Ezután leírta az $a$, $b$, $c$, $a+b-c$, $a+c-b$, $b+c-a$ és $a+b+c$ kifejezéseket egy papírra, és azt vette észre, hogy mind prímek. Határozzuk meg a papírra leírt legnagyobb és legkisebb szám különbségét.

Ági megjelölt egy-egy folttal két véletlenszerűen kiválasztott helyet egy méterrúdon, Ezután jött Balázs, és széttörte a méterrudat véletlenszerűen $2013$ darabra. Mennyi a valószínűsége, hogy a két kijelölt hely ugyanazon a darabon van?

Hány olyan tízjegyű pozitív egész szám van, amiben a $0,1,\dots ,9$ számjegyek mindegyike pontosan egyszer szerepel, és $11 111$-nek többszöröse?

Megjegyzés: Egy pozitív egész szám első számjegye nem lehet $0$.

Egy $2013$-adfokú valós együtthatós $P(x)$ polinom $n=0,1,\dots,2013$-ra kielégíti a $P(n)=3^n$ egyenletet. Mennyi $P(2014)$ értéke?

Egy egyenlő szárú $ABC$ háromszögben $AB=AC$ és $\angle BAC=99.4^\circ$, és adott a $D$ pont, amelyre $AD=DB$ és $\angle BAD=19.7^\circ$. Számítsd ki, mekkora $\angle BDC$.

Melyik a legnagyobb nem nullára végződő pozitív egész, amelynek valamely “belső” számjegyét elhagyva a szám egy osztóját kapjuk?

Megjegyzés: A “belső” számjegy olyan számjegy a számban, ami nem az első vagy az utolsó számjegy.

Adottak $a$, $b$, $c$ páronként különböző valós számok, melyekre $$a = (b-2)c,\quad b = (c-2)a,\quad c = (a-2)b.$$ Mennyi az $abc$ szorzat értéke?

Egy általános $ABC$ háromszögben az egyik magasság hossza megegyezik az egyik súlyvonal hosszával, illetve egy másik magasság hossza is megegyezik egy másik súlyvonal hosszával. Mekkora a harmadik magasság, és a harmadik súlyvonal hosszának aránya?