E.T. měl balvan ve tvaru krychle, jehož objem byl $216\,\text{m}^3$, a vysekl z něj kvádr o rozměrech $1\,\text{m}\times 1\,\text{m}\times 2\,\text{m}$ způsobem ukázaným na obrázku. Jaký má nyní balvan povrch (v $\text{m}^2$)?

Dva přátelé, David a Štěpán, vyhráli jackpot a koupili si krásnou obdélníkovou parcelu o rozměrech $35\,\text{m} \times 25\,\text{m}$. Chtějí si na ní postavit dvojdomek se společnou zahradou $G$ o ploše $300\, \text{m}^2$. Půdorys parcely je znázorněn na obrázku:

(Vzdálenost sousedních čar čtvercové sítě je $5\,\text m$.) Jak daleko musí zeď $b$ zasahovat z jedné poloviny dvojdomku do druhé, aby měly obě části stejnou plochu?

Malý Rado se chce vypravit na pláž. Doma vyhrabal patery různé plavky, tři slamáky, čtvero slunečních brýlí a pět triček. Aby na pláži nevzbudil pohoršení, musí si obléct plavky (právě jedny). Brýle, slamák ani tričko nikterak povinné nejsou, od každého z těchto doplňků si může vzít nanejvýš jeden kus. Kolika různými způsoby se Rado může obléci, aniž by vzbudil pohoršení?

Martina strávila prázdniny v deštném pralese. Každý den pršelo – buď ráno, nebo odpoledne, nebo celý den. Dohromady prožila 13 dní, kdy nepršelo celou dobu. Ranní déšť ji zastihl jedenáctkrát a odpolední dvanáctkrát. Jak dlouhé byly Martininy prázdniny?

Najděte nejmenší nezáporné celočíselné řešení rovnice $n-2\cdot \operatorname{Q}(n)=2016$, kde $\operatorname{Q}(n)$ označuje ciferný součet čísla $n$.

Kolik existuje kladných celých čísel, jejichž první číslice (tj. ta nejvíce vlevo) se rovná počtu jejich cifer?

Chodník se skládá z mnoha dlaždic. Jedna z nich má tvar pravidelného $n$-úhelníka a je ze všech stran obklopena ostatními dlaždicemi. Když dlaždici otočíme o $48^\circ$ kolem jejího středu, přesně zapadne do své původní polohy. Jaká je nejmenší možná hodnota $n$?

O dnu budeme říkat, že je šťastný, jestliže se jeho datum zapsané v podobě DD.MM.RRRR skládá z osmi různých cifer – zde DD určuje den, MM měsíc a RRRR rok, přičemž pokud je číslo udávající den nebo měsíc menší než deset, přidáváme před něj nulu. Například 26.04.1785 byl šťastný den. Jaký je nejbližší šťastný den (ode dneška)?

Kuba má kvádr. Zajímalo by ho, kolik rovin obsahuje právě čtyři jeho vrcholy. Poraďte mu.

Míša se rozhodla nakreslit pomocí pravítka a kružítka dobře vypadající půlměsíc. Začala nakreslením kružnice se středem $M_1$ a poloměrem $r_1=3\ \text{cm}$. Potom zabodla kružítko do bodu $M_2$ ležícího na kružnici a nakreslila druhou kružnici o poloměru $r_2$, která protla původní kružnici v protilehlých bodech ležících na průměru procházejícím $M_1$, jak ukazuje obrázek.

Jakou plochu má půlměsíc $A$ v $\text{cm}^2$?

Královna chobotnic má čtyři služebnice, z nichž každá má šest, sedm, nebo osm chapadel. Ty, které mají sedm chapadel, stále lžou, zatímco ty se šesti nebo osmi chapadly mluví vždy pravdu. Jednoho dne královna chobotnic svolala všechny své služebnice a zeptala se jich, kolik mají dohromady chapadel. První odpověděla, že 25, druhá tvrdila, že 26, třetí řekla 27 a poslední 28. Kolik chapadel mají dohromady pravdomluvné služebnice?

V supermarketu prodávají mléčnou, bílou a hořkou čokoládu, všechny za stejnou cenu. Jednoho krásného dne činila tržba za prodanou mléčnou čokoládu 270,–, za bílou čokoládu 189,– a za hořkou 216,–. Kolik nejméně tabulek čokolády se ten den mohlo prodat?

Otec pěti dětí chce svojí rodině nakoupit zákusky ke svačině. Léta bolestných zkušeností ho naučila, že musí dětem sehnat buď pět stejných, nebo pět vzájemně různých zákusků, jinak se jeho ratolesti do krve pohádají.Po dlouhé diskuzi, během níž se ani trochu nepodařilo domluvit, jaké zákusky by se měly nakoupit, naštvaně poručil svojí nejmladší dceři Aničce: „Půjdeš do cukrárny a řekneš prodavačce, ať ti dá $x$ kousků náhodně! Až se vrátíš, každé z vás dětí dostane jeden zákusek a všechny ostatní budou pro mě a pro maminku!“ Víme, že v cukrárně vedou alespoň pět druhů zákusků a vždycky mají ode všech dostatečné množství. Jaké číslo $x$ otec vybral, aby vynaložil co nejméně peněz a zároveň se jeho děti v žádném případě nepohádaly?

Jaký je poměr obsahu kruhu ku obsahu čtverce, mají-li stejný obvod?

V únoru se Olin rozhodl provětrat svůj soukromý tryskáč a navštívit Kokosové ostrovy. Ze svého evropského sídla odletěl v 10:00 středoevropského času (SEČ) a přistál na ostrovech následující den v 5:30 tamního času (KČ). Domů odlétal v 8:30 KČ a přistál stejného dne v 17:00 SEČ. Předpokládejme, že oba lety trvaly stejně dlouho. Kolik bylo hodin na Kokosových ostrovech, když se Olin vrátil domů?

Trojice čísel $14$, $20$, $n$ má následující vlastnost: Součin každých dvou z nich je dělitelný tím třetím. Najděte všechna kladná celá čísla $n$, pro něž je tato podmínka splněna.

Úsečka $x$ dělí obdélník na dva lichoběžníky způsobem ukázaným na obrázku. Vzdálenost $|PA|$ je rovna $10\,\text{cm}$ a $|AQ|$ je $8\,\text{cm}$. Lichoběžník $T_1$ má plochu $90\,\text{cm}^2$, lichoběžník $T_2$ plochu $180\,\text{cm}^2$.

Jaká je délka úsečky $x$ v $\text{cm}$?

Paní Leontýna natrhala na zahradě jahody. Chce je rozdat svým čtyřem synům tak, aby každý z nich dostal alespoň tři, přičemž Vilibald jich dostane více než Bonifác, Bonifác více než Ferdinand a Ferdinand více než Mikuláš. Každý ze synů bude znát počet svých jahod, celkové množství rozdělených jahod i podmínky, které si jejich mamá vymyslela. Jak má Leontýna rozdělit jahody, aby jich využila co nejméně a zároveň aby žádný z chlapců neznal celé rozdělení?

Na obvod kruhu napíšeme po směru hodinových ručiček všechna přirozená čísla od 1 do 1000 ve vzestupném pořadí. Následně budeme některá z čísel označovat: Začneme jedničkou a pak označíme každé patnácté číslo (tj. 16, 31 atd.). Pokračujeme tak dlouho, dokud neoznačíme některé číslo podruhé. Kolik čísel zůstane neoznačených, když skončíme?

Zjistěte součet velikostí sedmi označených vnitřních úhlů této sedmicípé hvězdy (ve stupních).

Žáci dostali za úkol spočítat aritmetický průměr čísel $1$, $3$, $6$, $7$, $8$ a $10$. Pepíček ale zvolil špatný přístup: Nejdřív si vybral některá dvě čísla a spočítal jejich průměr. Potom vzal výsledek a některé další číslo a zase vypočítal aritmetický průměr. Tak pokračoval, dokud nevyužil všechna čísla. Jaké největší absolutní hodnoty chyby (tj. absolutní hodnoty rozdílu svého a správného výsledku) tak mohl dosáhnout?

Na jedné straně rovné silnice je pět pouličních lamp $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$ a $L_5$ uspořádaných s jednotným rozestupem $12\, \text{m}$ v jedné přímce. Na druhé straně silnice stojí stánek se zmrzlinou. Když Honza postává u vchodu do obchodu v bodě $E$, vidí úsek mezi lampami $L_1$ a $L_2$ pod úhlem $\alpha = 27^\circ$. Pokud si stoupne k lampě $L_5$, vidí úsek mezi body $L_1$ a $E$ rovněž pod úhlem $27^\circ$.

Jak daleko jsou od sebe $L_1$ a $E$?

Šavlík si vybral dvě různá celá čísla od 1 do 17 (včetně) a vynásobil je. Kupodivu se ukázalo, že výsledný součin je rovný součtu zbylých patnácti čísel. Nalezněte Šavlíkovu dvojici čísel.

Kolik šestic kladných celých čísel $(a, b, c, d, e, f)$ splňuje $a > b > c > d > e > f$ a zároveň $a+f = b+e = c+d = 30$?

K časované bombě je připojený displej ukazující čas zbývající do výbuchu (v minutách a vteřinách). Na začátku odpočtu je na displeji 50:00. Žárovka blikne, kdykoliv je zobrazovaný počet minut rovný počtu vteřin (např. 15:15) nebo když je číslo na displeji stejné při čtení zleva i zprava (např. 15:51). V okamžiku, kdy žárovka blikne posedmdesáté, můžeme bombu zneškodnit. Jaký čas bude v tu chvíli na displeji?

Pět kruhů se vzájemně dotýká způsobem znázorněným na obrázku. Určete poloměr nejmenšího kruhu, jestliže velký kruh má poloměr $2$ a zbylé dva kruhy s vyznačenými středy mají poloměr $1$.

V kasinu sedělo kolem velkého stolu několik hráčů rulety. Když se zvedl Vejtek a s ním i jeho $16\,000$ euro, průměrná hotovost připadající na jednoho hráče poklesla o $1\,000$ euro. O dalších $1\,000$ pak klesla, když si přisedli gambleři Marta a Tonda, každý vybavený pouhými $2\,000$ euro. Kolik hráčů sedělo u stolu, když ještě Vejtek hrál?

V krychli $7\times7\times7$ je každá dvojice sousedících krychliček jednotkového objemu oddělená přepážkou. Odebráním několika přepážek chceme dosáhnout toho, že bude každá krychlička spojená s alespoň jednou z krychliček na povrchu. Jaké nejmenší množství přepážek je třeba odebrat?

Víme, že $20{\ast}{\ast}{\ast} 16$ je sedmiciferné číslo, které je druhou mocninou nějakého celého čísla. Které tři cifry chybějí?

Trojúhelník $ABC$ s délkami stran $|AB| = |AC| = 5\,\text{m}$ a $|BC| = 6\,\text{m}$ je částečně napuštěný vodou. Když trojúhelník leží na straně $BC$, je hladina ve výšce $3\,\text{m}$ nad touto stranou. Pokud bude trojúhelník spočívat na straně $AB$, jaká bude výška vodou naplněné části? Uvádějte v metrech.

Máme šest beden označených 1 až 6 a v nich nějak rozdělených 17 broskví. Jediný krok, který smíme udělat, je následující: Jestliže je v $n$-té bedně právě $n$ broskví, jednu sníme a zbylých $n-1$ rozdělíme po jedné do beden $1$ až $n-1$. Jak jsou broskve rozdělené, jestliže víme, že nám jejich rozložení umožňuje postupně sníst všechny?

Na vrchol hory vede jednoduchá lanovka s pevně připojenými dvojicemi sedadel. Celkem 74 lidí chce vyjet nahoru, zatímco 26 pasažérů čeká u horní stanice na cestu zpět. Přesně v poledne se mechanismus spustí a na obou stanicích nasedne do lanovky první dvojice; ostatní cestující pak plynule nastupují, kdykoli přijede další sedačka. Ve 12:16 se dvojsedačka vezoucí první dva cestující vzhůru setká s poslední obsazenou dvojsedačkou směřující dolů. Ve 12:22 naopak sedačka vezoucí první dvojici směrem dolů mine poslední obsazenou sedačku směřující na vrchol. Sedačky jsou podél lana rozmístěny rovnoměrně (tj. ve stejných vzájemných vzdálenostech), lanovka se pohybuje stálou rychlostí a všichni cestující jezdí ve dvojicích. Kolik minut trvá jízda ze spodní stanice do horní?

Mějme kosočtverec $ABCD$ a body $M$, $N$ ležící na úsečkách $AB$, $BC$ různé od $A$, $B$, $C$ takové, že $DMN$ je rovnostranný trojúhelník a $|AD| = |MD|$. Určete velikost úhlu $ABC$ (ve stupních).

Kolika způsoby je možné obarvit políčka tabulky $2 \times 7$ žlutě a zeleně tak, aby v žádném místě nevzniklo ani zelené, ani žluté L-trimino?

Poznámka: L-trimino je následující tvar (případně otočený o nějaký násobek pravého úhlu):

Filip je nadšeným sběratelem diamantů, ale zatím jich vlastní méně než $200$. Aby se jimi mohl lépe kochat, rozdělil všechny své diamanty do několika (nejméně dvou) hromádek tak, že

• každá hromádka se skládá z jiného počtu diamantů,
• na žádné hromádce nejsou právě dva diamanty,
• pro každou hromádku platí, že kdykoli by byla rozdělena na dvě menší části, skládala by se alespoň jedna z nich ze stejného počtu diamantů jako některá z nerozdělených hromádek.

Jaké největší množství diamantů může Filip vlastnit?

Poznámka: Hromádka musí vždy obsahovat alespoň jeden diamant.

Ve hře kámen, nůžky, papír máme tři možné symboly: kámen $K$, nůžky $N$ a papír $P$. Přitom $K>N$, $N>P$, $P>K$ a $K=K$, $N=N$, $P=P$, kde $A>B$ značí, že $A$ vítězí nad $B$, a $A=B$ znamená remízu. Turnaj v obouruční hře kámen, nůžky, papír bez opakování sestává z devíti her, které proti sobě hrají dva hráči oběma rukama současně, a to levou proti levé a pravou proti pravé. Za vítězství získává hráč $2$ body, za remízu $1$ a za prohru $0$ bodů. V jedné hře se tedy mezi hráče rozdělí celkem čtyři body. Během turnaje musí každý hráč zahrát každou možnou (uspořádanou) dvojici symbolů právě jednou. Jaká je pravděpodobnost, že všech devět her turnaje skončí skórem 2:2, volí-li oba hráči dvojice symbolů náhodně?

Síť tělesa sestává z osmi rovnostranných trojúhelníků a šesti čtverců jako na obrázku.

Je-li délka každé hrany $1\,\text{km}$, jaký je objem tělesa (v $\text{km}^3$)?

Najděte jediného trojciferného prvočíselného dělitele čísla $$999\,999\,995\,904.$$

Třináct včel – jedna malá a dvanáct velkých – žije v plástvi o $37$ buňkách. Každá velká včela zabere tři po dvou sousední buňky, zatímco malá včela obsadí jen jednu buňku (viz obrázek). Kolika způsoby může být plástev rozdělena na třináct nepřekrývajících se sektorů tak, aby je mohlo všech třináct včel obsadit v souladu s popsanými požadavky?

Do kružnice $\omega$ je vepsán rovnostranný trojúhelník $ABC$. Na kratším oblouku $BC$ kružnice $\omega$ zvolme bod $X$ a označme $T$ průsečík $AB$ s $CX$. Je-li $|AX| = 5$ a $|TX| = 3$, určete $|BX|$.

Uvažme rovnostranný trojúhelník $ABC$. Vnitřní bod $P$ trojúhelníka $ABC$ nazveme zářivým, pokud lze najít přesně $27$ paprsků vycházejících z $P$ a protínajících strany trojúhelníka $ABC$ takových, že trojúhelník je těmito paprsky rozdělen na $27$ menších trojúhelníků stejného obsahu. Určete počet zářivých bodů v trojúhelníku $ABC$.

Kolik kladných dělitelů čísla $2016^2$ menších než $2016$ nedělí číslo $2016$?

Nechť $$Z_n = \frac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}.$$ Spočtěte $Z_1 + Z_2 + \dots + Z_{2016}$.

Posloupnost celých čísel $a_0, a_1, a_2 \dots$ je konstruována následujícím způsobem: Je-li $a_i$ dělitelné třemi, položíme $a_{i+1}=a_i /3$, v opačném případě položíme $a_{i+1}=a_i +1$. Pro kolik různých nezáporných celých čísel $a_0$ dosáhne tato posloupnost poprvé hodnoty $1$ po přesně jedenácti krocích (tj. $a_{11} = 1$, ale $a_0, a_1, \dots, a_{10} \neq 1$)?

Nechť $ABCD$, $AEFG$ a $EDHI$ jsou obdélníky se středy po řadě $K$, $L$ a $J$. Předpokládejme dále, že $A$, $D$, $E$ jsou po řadě vnitřní body úseček $HI$, $FG$, $BC$ a že $|\sphericalangle AED| = 53^\circ$. Určete velikost $\sphericalangle JKL$ (ve stupních).

Bára si vybrala několik (ne nutně různých) čísel z množiny $\{-1, 0, 1, 2\}$ takovým způsobem, že jejich součet je roven $19$ a součet jejich druhých mocnin je $99$. Jaké největší hodnoty může nabývat součet třetích mocnin Bářiných čísel?

Najděte největší devíticiferné číslo s následujícími vlastnostmi:

• žádná číslice se v něm nevyskytuje více než jednou,
• vyškrtneme-li jeho $k$-tou cifru (pro $k=1,2,\ldots,9$), dostaneme osmiciferné číslo dělitelné $k$.

Je dán obdélník $ABCD$ se stranou $AB$ délky $12$ a bod $P$ ležící uvnitř tohoto obdélníka. Pro každý z trojúhelníků $ABP$, $BCP$ a $DAP$ platí, že jeho obvod je roven jeho obsahu. Jaký je obvod trojúhelníka $CDP$?

Na tabuli je napsaná (uspořádaná) dvojice čísel $(0,0)$. V každém kroku smažeme aktuální dvojici $(a,b)$ a napíšeme místo ní dvojici $(a+b+c, b+c)$, kde $c$ je rovno buď $247$, nebo $-118$ (z těchto dvou hodnot si můžeme v každém kroku vybrat). Najděte nejmenší nenulový počet kroků, po kterém se na tabuli může objevit dvojice $(0,b)$ pro nějaké $b$.

Cikcak je lomená čára, která vznikne ze dvou rovnoběžných polopřímek opačného směru spojením jejich počátečních bodů. Na kolik nejvíce oblastí může deset cikcaků rozdělit rovinu?

Mějme čtyřstěn, jehož každá stěna je trojúhelník se stranami délek $1$, $\sqrt 2$ a $c$. Poloměr sféry opsané tomuto čtyřstěnu je $5/6$. Najděte $c$.

Na uvítací přípitek vyrovnal vrchní číšník do řady $2016$ sklenek s vynikajícím višňovým koktejlem. Pikolík dostal za úkol jednu z nich překrýt stříbrným táckem, na něj postavit sošku a do ostatních rozmístit lichý počet višní tak, aby v každé sklence byla nejvýše jedna. Navíc mělo napravo od sklenky překryté táckem skončit více višní než nalevo od ní. Kolika způsoby to pikolík může provést?

Jirka měl dřevěnou krychli. Protože nebyl spokojen s její barvou, rozhodl se ji natřít nazeleno. Ani to ho ale neuspokojilo, a tak si usmyslel, že ji rozřeže na malé kvádry. Vybral si proto $33$ různých rovin, z nichž každá se nacházela mezi některými dvěma protilehlými stěnami krychle a byla s nimi rovnoběžná, a provedl podél nich řezy. Když se krychle rozpadla, spočítal všechny kvádry s alespoň jednou zelenou stěnou a s údivem zjistil, že je jich stejně jako kvádrů, které nemají žádnou zelenou stěnu. Na kolik kvádrů mohl krychli rozřezat?

Pro přirozené číslo $n$ definujme $p(n)$ jako součin všech nenulových cifer čísla $n$. Najděte největšího prvočíselného dělitele čísla $p(1)+\dots+p(999)$.

Nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ je rostoucí posloupnost kladných celých čísel taková, že $9\mid a_{3k-2}$, $14\mid a_{3k-1}$ a $19\mid a_{3k}$ pro každé přirozené číslo $k$. Najděte nejmenší možnou hodnotu $a_{2016}$.

Uvnitř trojúhelníka $ABC$ se nachází bod $P$. Průsečíky přímek $AP$, $BP$ a $CP$ s protilehlými stranami označme postupně $D$, $E$ a $F$. Spočtěte obsah trojúhelníka $ABC$, pokud víte, že $| PA |=6$, $| PB | =9$, $| PD |=6$, $| PE | =3$ a $| CF | =20$.

Najděte poslední dvojčíslí před desetinnou čárkou čísla $(7 + \sqrt{44})^{2016}$.