Okna ve starší tramvaji vypadají jako na obrázku. Všechny zaoblené rohy jsou tvořeny oblouky kružnice o poloměru $10\,\text{cm}$. Posuvné okénko je pootevřené na $10\,\text{cm}$, jak je znázorněno na druhém obrázku. Výška posuvného okénka je $13\,\text{cm}$. Jaký obsah v $\text{cm}^2$ má vzniklý otvor?

Obdélník je rozdělen na devět obdélníčků, jak znázorňuje obrázek. Do některých obdélníčků je vepsán jejich obvod. Určete obvod velkého obdélníku.

Kuba odstranil ze čtyřciferného prvočísla jednu cifru a dostal tak $630$. Které prvočíslo to bylo?

Uhlobaron Ptáček si nechal postavit velmi moderní pětiúhelníkový dům na obdélníkovém pozemku o stranách $35\, \mbox{m}$ a $25\, \mbox{m}$. Půdorys domu je do pozemku zasazen jako na obrázku (sousední body na hranici jsou od sebe vzdáleny $5\,\mbox{m}$.) Jakou poměrnou část obsahu celého pozemku tvoří zastavěná plocha?

Čtvercová mřížka tvořená $16$ body, kterou vidíme na obrázku, obsahuje vrcholy devíti čtverců $1\times 1$, čtyř čtverců $2\times 2$ a jednoho čtverce $3\times 3$, celkem tedy $14$ čtverců, jejichž strany jsou rovnoběžné se stranami mřížky. Jaký nejmenší počet bodů lze z mřížky odebrat, aby po jejich odstranění každému ze $14$ čtverců scházel nejméně jeden vrchol?

Určete poslední číslici součtu $$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 2017^2.$$

Vyjádřete podíl $$\frac{0{,}\overline 2}{0{,}\overline{24}}$$ jako zlomek $\dfrac{a}{b}$ v základním tvaru s přirozenými čísly $a$ a $b$.

Poznámka: Horní pruh značí periodický desetinný rozvoj, kupříkladu $0{,}\overline{123} = 0{,}123123\ldots$

Přerovský železniční uzel má tvar trojúhelníku. Olin, Martina a Marian provádějí špionáž a sledují všechny vlaky, které projíždějí Přerovem. Svá pozorovací stanoviště mají pečlivě ukryta v blízkosti trati postupně ve směru na Hulín, na Olomouc a na Lipník. Během jednoho dne Olin napočítal $190$, Martina $208$ a Marian $72$ vlaků. Kolik vlaků jelo ten den mezi Olomoucí a Hulínem, pokud víme, že žádný vlak nevyjíždí z Přerova, nekončí v něm, ani se v něm nemůže otočit a vrátit se zpět?

Najděte všechna přirozená čísla $x < 10\,000$ taková, že $x$ je čtvrtou mocninou nějakého sudého čísla a zároveň můžeme zpřeházením cifer $x$ dostat čtvrtou mocninu některého lichého čísla. Cifry přitom nesmíme přehazovat tak, aby výsledné číslo začínalo nulou.

Je dán rovnoběžník $ABCD$. Nechť $E$ je bod na straně $AB$ splňující $|EB| =\frac 15\, |AE|$ a nechť úsečka $CE$ protíná úhlopříčku $BD$ v bodě $F$. Určete poměr $|BF| : |BD|$.

Ve velké stáji je sto boxů, které jsou označené čísly $1$ až $100$. V jednom boxu mohou být jeden, dva, nebo tři koně. Je známo, že v boxech $1$ až $52$ je dohromady $56$ koní a v boxech $51$ až $100$ je jich celkem $150$. Kolik koní je dohromady ve stáji?

Lucien napsal na tabuli červenou barvou číslo $3$ a zelenou číslo $2$. Pak vždy, když se mu aktuální čísla omrzela, obě smazal a místo nich napsal červeně jejich součet a zeleně absolutní hodnotu jejich rozdílu. Jaké bylo $2017$. červené číslo, které se objevilo na tabuli?

Červená Karkulka stojí v rohu $A$ obdélníkového arboreta. Po svých předchozích zkušenostech v něm nechce trávit více času, než je nezbytně nutné, a ráda by se co nejrychleji dostala do protějšího rohu $B$. Má dvě možnosti: buď jít podél hranice a urazit $140$ metrů, nebo jít klikatou cestičkou s dvěma pravoúhlými zatáčkami, jak je nakresleno na obrázku. Pomozte Karkulce rozhodnout se, kudy jít, a vyjádřete délku klikaté cestičky v metrech.

Osmiciferný palindrom je číslo tvaru $\overline{abcddcba}$, přičemž cifry $a$, $b$, $c$ a $d$ nemusejí být nutně různé. Kolik osmiciferných palindromů má tu vlastnost, že z nich lze vynecháním několika cifer získat číslo $2017$?

Pro přirozené číslo $n$ označme $\operatorname S(n)$ součet jeho cifer a $\operatorname P(n)$ jejich součin. Kolik existuje přirozených čísel $n$ takových, že $n=\operatorname S(n)+\operatorname P(n)$?

Na slovenském Ministerstvu švihlé chůze mají $100$ zaměstnanců. Vedoucí oddělení bere měsíčně $5\,000$ €, řadový pracovník $1\,000$ € a brigádník $50$ €. Celkově vydá ministerstvo na platech $100\,000$ €. Určete, kolik vedoucích oddělení ministerstvo má, pokud víte, že zaměstnává alespoň jednoho vedoucího oddělení, alespoň jednoho řadového pracovníka a alespoň jednoho brigádníka.

Mozaika na obrázku je tvořena pravidelnými mnohoúhelníky. Šestiúhelník a šedý trojúhelník jsou vepsány do stejné kružnice a obsah každého ze tří vyšrafovaných trojúhelníků je $17$. Určete obsah šedého trojúhelníku.

Připravuje se rekonstrukce Masarykova nádraží, v rámci níž bude položena zcela nová dlažba. Před nástupišti by se měly nacházet barevné obrazce, které budou mít tvar jako na obrázku a budou vydlážděny dlaždicemi $1\times 2$. Kolika způsoby lze jeden takový obrazec vydláždit? Dlaždice jsou všechny stejné a dvě vydláždění považujeme za různá, pokud je na jednom z nich spára v místě, kde na druhém je dlaždice.

Jirka si hrál s celým kladným číslem $n$. Na začátku si vybral nějakého jeho kladného dělitele, vynásobil ho čtyřmi a výsledek odečetl od $n$. Dostal tak číslo $2017$. Najděte všechny možné hodnoty čísla $n$.

Anička s Davidem jsou dobří kamarádi a pokaždé, když sedí vedle sebe, si začnou povídat. Paní učitelka chce posadit pět dětí, mezi nimi i Aničku a Davida, na pět židlí rozmístěných kolem kulatého stolu, aby mohly společně pracovat na projektu. Nechce, aby Anička s Davidem seděli vedle sebe a vyrušovali. Kolika způsoby může děti rozesadit? Rozesazení, která se liší natočením, považujeme za různá.

Na obrázku je $AB$ průměrem kružnice se středem v $M$. Pro body $C$ a $D$ na kružnici platí, že $AC\perp DM$ a $|\sphericalangle MAC| = 56^\circ$. Určete (ve stupních) velikost ostrého úhlu mezi přímkami $AC$ a $BD$.

Tvoříme posloupnost obrazců. Prvním obrazcem je čtvereček $1\times 1$ a každý další vznikne slepením tří kopií předchozího obrazce (podél strany jednoho z jednotkových čtverečků), jak je znázorněno na obrázku. Jaká je délka zvýrazněné hranice šestého obrazce?

Kolem velikého kulatého stolu s $2017$ židlemi sedí andělé a démoni (každá židle je obsazena jedním z nich). Démoni vždy lžou a andělé vždy mluví pravdu. Každý u stolu řekl, že sedí mezi andělem a démonem. Z blíže nespecifikovaného důvodu se právě jeden anděl spletl. Kolik andělů sedí u stolu?

Najděte všechna kladná reálná čísla $x$ splňující $$x^{2017 x} = (2017 x)^x.$$

Vasil musí za trest obarvit hrany pravidelného dvanáctistěnu. Má to ale háček – žádnou hranu nesmí obarvit vícekrát a jednou barvou může malovat vždy jen jedním tahem po hranách, které spolu sousedí nějakým vrcholem. Když se pak dostane do nějakého vrcholu, z nějž vedou jen obarvené hrany, nebo když se prostě rozhodne skončit, musí si vzít fix nějaké barvy, kterou ještě nepoužil, a začít nový tah. Kolik nejméně barev potřebuje k obarvení všech hran?

Poznámka: Pravidelný dvanáctistěn je pravidelné trojrozměrné těleso s dvanácti pětiúhelníkovými stěnami jako na obrázku:

Zahradní architekt Pepa má v plánu si okolo jezírka postavit trojúhelníkový chodníček. Jeho střed bude určen trojúhelníkem $ABC$ o stranách délek $a = 80\,\text{m}$, $b = 100\,\text{m}$ a $c = 120 \,\text{m}$. Okraje chodníčku mají být se stranami trojúhelníka rovnoběžné a vzdálené od nich $1\,\text{m}$. Kolik $\text{m}^3$ štěrku bude Pepa potřebovat, pokud chce chodníček pokrýt $4\,\text{cm}$ vysokou vrstvou štěrku?

Najděte všechny čtyřciferné čtverce tvaru $\overline{xxyy}$, kde $x$ a $y$ jsou ne nutně různé číslice.

Poznámka: Čtvercem zde rozumíme druhou mocninu kladného celého čísla.

Na Matějské pouti probíhá loterie. Ve čtyřech identických bednách se nachází celkem 18 bílých a 14 černých míčků. Soutěžící si vybere jednu z těchto čtyř beden a z ní vytáhne jeden míček. Pokud je vytažený míček bílý, soutěžící vyhrál, a pokud je černý, prohrál.

Je-li například rozložení míčků $(6,6),\,(5,3),\,(4,0),\, (3,5)$, kde dvojice $(b,c)$ označuje postupně počet bílých a černých míčků v bedně, potom je šance na výhru $\frac{5}{8}$.

Každý $1000$. účastník loterie hraje superhru. Na začátku může míčky sám rozdělit do čtyř beden tak, aby byl v každé z nich alespoň jeden. Bedny jsou poté zamíchány, takže není možné určit, která je která, a účastník si vytáhne míček stejným způsobem jako výše. Jaká je největší možná šance na výhru v superhře?

Motorová vozidla se na závodech pohybují konstantní rychlostí. Okolo stojícího diváka projel autobus, po $t$ hodinách kamion a po dalších $t$ hodinách motocykl. O něco dále na trati projela kolem jiného fanouška tato tři vozidla ve stejných intervalech, ale v jiném pořadí, a to autobus, motocykl, kamion. Jaká je rychlost autobusu v km/h, jestliže kamion jede rychlostí $60\,\text{km/h}$ a motocykl rychlostí $120\,\text{km/h}$?

Najděte všechny způsoby, jak se dají do obdélníčků v níže uvedeném výroku vepsat přirozená čísla tak, aby byl pravdivý: „V tomto výroku je $\boxed{\phantom{00}}\,\%$ číslic větších než $4$, $\boxed{\phantom{00}}\,\%$ číslic menších než $5$ a $\boxed{\phantom{00}}\,\%$ číslic rovných $4$ nebo $5$.“

Vaškův dobytek se pase na trojúhelníkové louce $ABC$. Protože jeho strakaté krávy se nesnesou s těmi jednobarevnými, postavil Vašek dvacet metrů dlouhý plot kolmý na stranu $AC$, který začíná v bodě $P$ na této straně a končí v bodě $B$, jímž louku rozdělil na dva menší pravoúhlé trojúhelníky. To však záhy vyvolalo protesty strakatých krav (pasoucích se v části s bodem $A$), které poukázaly na to, že $|AP| : |PC| = 2 : 7$, a požadovaly spravedlivější dělení. Vašek tedy nahradil plot novým, jenž je rovnoběžný s tím starým a má oba konce na hranici louky, avšak dělí tuto louku na dvě části o stejném obsahu. Jaká je délka nového plotu v metrech?

Na tabuli bylo napsáno pět reálných čísel (ne nutně různých). Honza postupně prošel všechny dvojice čísel a pro každou spočítal její součet. Pak napsal na tabuli všech deset výsledků $$1,\;2,\;3,\;5,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9,\;10$$ a původní čísla smazal. Určete všechny možné hodnoty součinu smazaných čísel.

Zapište $333$ jako součet druhých mocnin několika různých lichých přirozených čísel.

ET popadl tři reálná čísla $a$, $b$, $c$ a definoval operaci $\odot$ jako $x \odot y = ax + by + cxy$. Aby zahnal nudu, spočítal si, že $1 \odot 2 = 3$ a $2 \odot 3 = 4$. Po dalším pachtění zjistil, že existuje nenulové reálné číslo $u$ splňující $z \odot u = z$ pro každé reálné $z$. Jaká je hodnota $u$?

Tři kružnice o poloměru $r$, jedna kružnice o poloměru $1$ a jedna přímka se vzájemně dotýkají způsobem naznačeným na obrázku. Určete hodnotu $r$.

Na zeď matfyzáckých kolejí někdo nasprejoval pět (ne nutně různých) reálných čísel, jejichž součet byl $20$. Karel postupně sečetl každou dvojici čísel a výsledek vždy zaokrouhlil dolů (tj. vzal největší celé číslo nepřesahující výsledek), čímž dostal deset celých čísel. Nakonec sečetl všechna tato nová čísla. Jakou nejmenší hodnotu součtu tak Karel mohl dostat?

Pro složené kladné celé číslo $n$ označme $\xi(n)$ součet jeho tří nejmenších dělitelů a $\vartheta(n)$ součet jeho dvou největších dělitelů. Najděte všechna složená čísla $n$, pro něž platí $\vartheta(n)=(\xi(n))^4$.

Poznámka: Za dělitele $n$ považujeme všechna kladná celá čísla $k$, pro která je $n/k$ opět celé číslo.

Mlsná myška se nachází v levém dolním rohu šachovnice $3 \times 3$ a touží po kousku sýra, který se povaluje v pravém horním rohu. Myška umí přecházet jen mezi políčky sousedícími hranou. Kolika způsoby můžeme na některá z volných políček (třeba i na žádné z nich) umístit překážky tak, aby se myška stále uměla dostat k sýru?

Ze všech dvojic $(x, y)$ reálných čísel splňujících $$x^2 y^2 + 6 x^2 y + 10 x^2 + y^2 + 6 y = 42$$ označme $(x_0, y_0)$ tu s nejmenším $x_0$. Najděte $y_0$.

Nechť $ABC$ je pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu $C$. Dále $D$ a $E$ jsou body na straně $AB$, přičemž $D$ leží mezi $A$ a $E$ a přímky $CD$ a $CE$ dělí úhel $ACB$ na třetiny. Pokud $|DE|:|BE| = 8:15$, najděte $|AC| : |BC|$.

Háňa propadla nové hazardní hře, v níž je cílem uhodnout neznámé přirozené číslo z intervalu $1$ až $N$ včetně. V každém tahu řekne Háňa některé číslo z tohoto intervalu. Pokud se trefí, hra končí, a v opačném případě jí krupiér prozradí, zda je její tip příliš velký, nebo příliš malý. Pokud je její číslo vyšší než hledané číslo, musí Háňa zaplatit $1$ Kč, a pokud je nižší, zaplatí dokonce $2$ Kč. Za správný tip se nic neplatí. Pro jaké největší $N$ dokáže Háňa hru určitě dokončit, smí-li utratit nanejvýš $10$ Kč?

Pro kladná celá čísla $a$, $b$, $c$ platí $a \geq b \geq c$ a $$a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca + 4abc = 2017.$$ Zjistěte všechny vyhovující hodnoty $a$.

Mimozemská kosmická loď má tvar dokonalé koule o poloměru $R$ podepřené třemi rovnoběžnými svislými nohami o délce $1\,\text{ms}$ (mimozemský sáh) a zanedbatelné tloušťce. Dolní konce noh tvoří rovnostranný trojúhelník o straně délky $9\,\text{ms}$. Když loď stojí na rovném povrchu, dotýká se ho také nejnižší bod koule. Jaký je poloměr $R$ (v $\text{ms}$)?

Čtyři bratři, Albrecht, Bořivoj, Chrudoš a Dalimil, nasbírali v lese spoustu lískových oříšků. V noci Albrechta honila mlsná, takže se jich rozhodl pár sníst. Po přepočítání oříšků zjistil, že kdyby jich měli o jeden méně, šlo by je rozdělit na čtyři stejně velké hromádky. Proto jeden ořech zahodil, snědl svůj podíl (čtvrtinu zbytku) a šel spokojeně spát. O něco později hlad probudil i Bořivoje a i on zjistil, že jeden oříšek přebývá. I zahodil jej a schroustal čtvrtinu zbytku. Do rána se přesně totéž přihodilo i Chrudošovi a Dalimilovi. Když se za kuropění všichni bratři setkali, ukázalo se, že i nyní by po zahození jednoho ořechu bylo možné zbytek rozdělit na čtyři stejné hromádky. Jaké nejmenší množství ořechů mohli chlapci nasbírat?

Přirozené číslo nazýváme vychované, jestliže není dělitelné žádným prvočíslem různým od $2$, $3$ a $7$. Kolik vychovaných čísel najdeme mezi čísly $1000, 1001, \dots, 2000$?

Císař Decimus zakázal číslici $0$ (kterou zavedl jeho předchůdce Nullus). Nařídil místo ní používat číslici $\mathrm D$, představující hodnotu $10$, čímž vznikla decimická soustava. I v ní má každé přirozené číslo jednoznačně daný zápis, například $$3\mathrm{DD}6 = 3 \cdot 1000 + 10 \cdot 100 + 10 \cdot 10 + 6 \cdot 1 = 4106.$$ Aby změna číselné soustavy proběhla co možná nejsnáze, byl na velký obelisk vytesán seznam všech čísel od $1$ do $\mathrm{DDD}$ včetně. Kolikrát se v něm vyskytuje nově zavedená číslice $\mathrm D$? Výskyty v rámci jednoho čísla se počítají odděleně, takže například $\mathrm{DD}$ přispívá do součtu dvakrát.

Do čtverce $ABCD$ je vepsána kružnice $\omega$, která se čtverce dotýká v bodech $W$, $X$, $Y$, $Z$ ležících postupně na stranách $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Nechť $E$ je vnitřní bod kratšího oblouku kružnice $\omega$ mezi $W$ a $X$ a dále $F$ průsečík $BC$ a $EY$. Určete obsah trojúhelníku $FYC$, jestliže víte, že $|EF| = 5$ a $|EY| = 7$,

V kryptogramu $$WE \cdot LIKE = NABOJ$$ označují různá písmena různé číslice. Navíc je dáno $\operatorname{S}(WE)=11$, $\operatorname{S}(LIKE)=23$ a $\operatorname{S}(NABOJ)=19$, kde $\operatorname{S}(n)$ značí ciferný součet přirozeného čísla $n$. Žádné ze tří čísel nezačíná nulou. Najděte pěticiferné číslo $NABOJ$.

Najděte všechna přirozená čísla $n$, pro která je součet všech jejich vlastních dělitelů roven $63$.

Poznámka: Vlastní dělitel $d$ čísla $n$ splňuje $1 < d < n$.

Honza má mazácké auto se čtvercovými zadními koly (přední kola jsou standardní, tj. kulatá). Jezdit v takovém autě by bylo za normálních okolností dosti nepříjemné, ovšem Honza si na zadní kola nainstaloval velmi dobré tlumiče, díky nimž auto při jízdě po rovné silnici zůstává rovnoběžně s povrchem. Hrana zadního kola má délku $40\,\text{cm}$ a zadní náprava je vzhledem k autu pohyblivá pouze ve vertikálním směru. Jaký je poloměr předního kola (v cm), víme-li, že když se auto pohybuje konstantní rychlostí kupředu, zadní je náprava přesně polovinu času níže (blíž k silnici) a polovinu času výše (dál od silnice) než přední náprava?

Město Budoucnosti má tvar pravidelného $2017$úhelníku. Jeho vrcholy tvoří $2017$ stanic metra, očíslovaných na plánku města od $1$ do $2017$ proti směru hodinových ručiček. Mají zde dvě linky metra, okrajovou a diagonální. Okrajová linka zajišťuje přímé spojení ze stanice $a$ do stanice $b$ (nikoli však v opačném směru), právě když $a-b+1$ je dělitelné $2017$, a jedna taková jízda trvá $1$ minutu. Diagonální linka zajišťuje přímé spojení ze stanice $a$ do stanice $b$, právě když $2b-2a+1$ je dělitelné $2017$, a jedna taková jízda zabere $15$ minut. Filip je nadšenec do metra a náruživý cestovatel. Rád by se ze stanice $1$ dostal co nejdál, tj. do stanice, pro niž je optimální čas potřebný k jejímu dosažení nejdelší možný. Která čísla stanic splňují Filipovu podmínku?

Nechť $f(n)$ značí počet přirozených čísel, která mají právě $n$ cifer a jejichž ciferný součet je $5$. Určete, kolik z $2017$ čísel $f(1), f(2), \dots, f(2017)$ má na místě jednotek jedničku.

Na obrázku jsou dva nepřímo podobné šestiúhelníkové útvary, jejichž některé strany mají délky $a$, $b$, $c$, $d$, respektive $A$, $B$, $C$, $D$. Přiložíme-li tyto dva útvary k sobě, jak ukazuje obrázek, dostaneme nový šestiúhelníkový útvar podobný oběma menším (přímo podobný tomu napravo). Určete poměr $A : a$.

Najděte všechny dvojice kladných celých čísel $(a,b)$, pro něž má každá z rovnic $$\begin{align*}x^2-ax+a+b-3 &= 0,\\ x^2-bx+a+b-3 &= 0\end{align*}$$ dva kladné celé kořeny.

Trojúhelníku $ABC$ se stranami délek $|AB| = 3$, $|BC| = 7$ a $|AC| = 5$ je opsána kružnice $\omega$. Osa úhlu $BAC$ protíná stranu $BC$ v bodě $D$ a kružnici $\omega$ v bodě $E$. Nechť $\gamma$ je kružnice nad průměrem $DE$. Druhý průsečík kružnic $\omega$ a $\gamma$ (různý od $E$) označme $F$. Určete $|AF|$.

Určete počet uspořádaných trojic $(x, y, z)$, kde $x$, $y$, $z$ jsou nezáporná celá čísla menší než $2017$ a výraz $$(x+y+z)^2 - 704xyz$$ je dělitelný $2017$.

Bára s Helčou střídavě házejí běžnou hrací kostkou, která má dvě stěny červené, dvě zelené a dvě modré. Po každém hodu dostane hráčka žeton té barvy, kterou právě hodila. Vítězí ta z nich, která jako první shromáždí žetony všech tří barev. Bára začíná. S jakou pravděpodobností vyhraje?

Najděte největší celé číslo $n$, pro něž má rovnice $$k(k + 1)(k + 3)(k + 6) = n(n + 1)$$ celočíselné řešení $(k, n)$.

Pizzerie pana Čtvrtníčka dodává své zboží ve speciálních pětiúhelníkových krabicích, které jsou vhodné jak pro jednu čtvrtinu velké pizzy, tak i pro tři čtvrtiny pizzy malé (viz obrázek). Jaký je poloměr malé pizzy v centimetrech, jestliže ta velká má poloměr $30\,\text{cm}$?